Chapter 11 —— Vector Autoregressions

前一章介绍了描述向量时间序列过程的一些基本工具。本章更深入地探讨向量自回归，它们在估计和预测方面特别方便。本章首先讨论最大似然估计和假设检验。

11.1 Maximum Likelihood Estimation and Hypothesis Testing for an Unrestricted Vector Autoregression

The Conditional Likelihood Function for a Vector Autoregression

$\mathbf{y}_t$ $(n \times 1)$ $n$ $t$ $\mathbf{y}_t$ $p$ $VAR(p)$ 控制：

\begin{matrix} (11.1.1) & y_{t} = c + Φ_{1} y_{t - 1} + Φ_{2} y_{t - 2} + \dots + Φ_{p} y_{t - p} + ε_{t}, \end{matrix}

$\boldsymbol{\varepsilon}_t \sim$ $N(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Omega})$ 。

$(T+p)$ $p$ $\mathbf{y}_{-p+1}, \mathbf{y}_{-p+2}, \ldots, \mathbf{y}_0$ $T$ $\mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2, \ldots, \mathbf{y}_T$ ）进行估计，形成条件似然函数

\begin{matrix} (11.1.2) & f_{Y_{T}, Y_{T - 1}, \dots, Y_{1} ∣ Y_{0}, Y_{- 1}, \dots, Y_{- p + 1}} (y_{T}, y_{T - 1}, \dots, y_{1} ∣ y_{0}, y_{- 1}, \dots, y_{- p + 1}; θ) \end{matrix}

$\boldsymbol{\theta}$ $\boldsymbol{\theta}$ $\mathbf{c}$ $\boldsymbol{\Phi}_1, \boldsymbol{\Phi}_2, \ldots, \boldsymbol{\Phi}_p$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\boldsymbol{\theta}$ 值称为"最大似然估计"。

$t-1$ $y$ $t$ $y$ 值等于常数

\begin{matrix} (11.1.3) & c + Φ_{1} y_{t - 1} + Φ_{2} y_{t - 2} + \dots + Φ_{p} y_{t - p}, \end{matrix}

$N(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Omega})$ 变量。因此，

\begin{aligned} (11.1.4) & y_{t} ∣ y_{t - 1}, y_{t - 2}, \dots, y_{- p + 1} & \sim N ((c + Φ_{1} y_{t - 1} + Φ_{2} y_{t - 2} + \dots + Φ_{p} y_{t - p}), Ω) . \end{aligned}

$\mathbf{x}_t$ $\mathbf{y}$ $p$ 个滞后的向量：

\begin{matrix} (11.1.5) & \begin{matrix} x_{t} \equiv [\begin{matrix} 1 \\ y_{t - 1} \\ y_{t - 2} \\ ⋮ \\ y_{t - p} \end{matrix}] . \end{matrix} \end{matrix}

$\mathbf{x}_t$ $[(np+1) \times 1]$ $\boldsymbol{\Pi}'$ $[n \times (np+1)]$ 矩阵：

\begin{matrix} (11.1.6) & Π^{'} \equiv [\begin{matrix} c & Φ_{1} & Φ_{2} & \dots & Φ_{p} \end{matrix}] . \end{matrix}

$\boldsymbol{\Pi}' \mathbf{x}_t$ $\boldsymbol{\Pi}'$ $j$ $j$ 个方程的参数。使用这种记号，[11.1.4] 可以更紧凑地写成

\begin{matrix} (11.1.7) & y_{t} ∣ y_{t - 1}, y_{t - 2}, \dots, y_{- p + 1} \sim N (Π^{'} x_{t}, Ω) . \end{matrix}

$t$ 个观测值的条件密度为

\begin{aligned} f_{Y_{t} ∣ Y_{t - 1}, Y_{t - 2}, \dots, Y_{t - p + 1}} (y_{t} ∣ y_{t - 1}, y_{t - 2}, \dots, y_{- p + 1}; θ) \\ (11.1.8) & = & (2 π)^{- n / 2} | Ω^{- 1} |^{1 / 2} \exp [(- 1 / 2) (y_{t} - Π^{'} x_{t})^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - Π^{'} x_{t})] . \end{aligned}

$\mathbf{y}_0, \mathbf{y}_{-1}, \ldots, \mathbf{y}_{-p+1}$ $t$ 的联合密度满足

\begin{aligned} f_{Y_{t}, Y_{t - 1}, \dots, Y_{1} ∣ Y_{0}, Y_{- 1}, \dots, Y_{- p + 1}} (y_{t}, y_{t - 1}, \dots, y_{1} ∣ y_{0}, y_{- 1}, \dots, y_{- p + 1}; θ) \\ = f_{Y_{t - 1}, \dots, Y_{1} ∣ Y_{0}, Y_{- 1}, \dots, Y_{- p + 1}} (y_{t - 1}, \dots, y_{1} ∣ y_{0}, y_{- 1}, \dots, y_{- p + 1}; θ) \\ \times f_{Y_{t} ∣ Y_{t - 1}, Y_{t - 2}, \dots, Y_{- p + 1}} (y_{t} ∣ y_{t - 1}, y_{t - 2}, \dots, y_{- p + 1}; θ) . \end{aligned}

$\mathbf{y}_0, \mathbf{y}_{-1}, \ldots, \mathbf{y}_{-p+1}$ $\mathbf{y}_T, \mathbf{y}_{T-1}, \ldots, \mathbf{y}_1$ 的似然函数是各个条件密度的乘积：

\begin{aligned} f_{Y_{T}, Y_{T - 1}, \dots, Y_{1} ∣ Y_{0}, Y_{- 1}, \dots, Y_{- p + 1}} (y_{T}, y_{T - 1}, \dots, y_{1} ∣ y_{0}, y_{- 1}, \dots, y_{- p + 1}; θ) \\ (11.1.9) & = \prod_{t = 1}^{T} f_{Y_{t} ∣ Y_{t - 1}, Y_{t - 2}, \dots, Y_{- p + 1}} (y_{t} ∣ y_{t - 1}, y_{t - 2}, \dots, y_{- p + 1}; θ) . \end{aligned}

通过将 [11.1.8] 代入 [11.1.9] 并取对数，得到样本对数似然函数：

\begin{aligned} L (θ) & = \sum_{t = 1}^{T} \log f_{Y_{t} ∣ Y_{t - 1}, Y_{t - 2}, \dots, Y_{- p + 1}} (y_{t} ∣ y_{t - 1}, y_{t - 2}, \dots, y_{- p + 1}; θ) \\ (11.1.10) & = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | Ω^{- 1} | - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} [(y_{t} - Π^{'} x_{t})^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - Π^{'} x_{t})] . \end{aligned}

$\boldsymbol{\Pi}$

$\boldsymbol{\Pi}$ $\mathbf{c}$ $\boldsymbol{\Phi}_j$ 。这由下式给出：

\begin{matrix} (11.1.11) & {\hat{Π}}^{'} = [\sum_{t = 1}^{T} y_{t} x_{t}^{'}] {[\sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'}]}^{- 1}, \end{matrix}

$\mathbf{y}_t$ $\mathbf{x}_t$ $\widehat{\boldsymbol{\Pi}}'$ $j$ 行是

\begin{matrix} (11.1.12) & {\hat{π}}_{j}^{'} = [\sum_{t = 1}^{T} y_{j t} x_{t}^{'}] {[\sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'}]}^{- 1}, \end{matrix}

$y_{jt}$ $\mathbf{x}_t$ $j$ $y_{jt}$ $p$ 个滞后进行 OLS 回归得到。

为了验证 [11.1.11]，将 [11.1.10] 中最后一项出现的和写成

\begin{aligned} (11.1.13) & \sum_{t = 1}^{T} [(y_{t} - Π^{'} x_{t})^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - Π^{'} x_{t})] & = \sum_{t = 1}^{T} [(y_{t} - {\hat{Π}}^{'} x_{t} + {\hat{Π}}^{'} x_{t} - Π^{'} x_{t})^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - {\hat{Π}}^{'} x_{t} + {\hat{Π}}^{'} x_{t} - Π^{'} x_{t})] \\ = \sum_{t = 1}^{T} [{\hat{ε}}_{t} + (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t}]^{'} Ω^{- 1} [{\hat{ε}}_{t} + (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t}], \end{aligned}

$(n \times 1)$ $\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t$ $j$ $y_{jt}$ $\mathbf{x}_t$ $t$ 的样本残差：

\begin{matrix} (11.1.14) & {\hat{ε}}_{t} \equiv y_{t} - {\hat{Π}}^{'} x_{t} . \end{matrix}

表达式 [11.1.13] 可以展开为

\begin{aligned} (11.1.15) & \sum_{t = 1}^{T} [(y_{t} - Π^{'} x_{t})^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - Π^{'} x_{t})] & = \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} Ω^{- 1} {\hat{ε}}_{t} + 2 \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} Ω^{- 1} (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t} \\ + \sum_{t = 1}^{T} x_{t}^{'} (\hat{Π} - Π) Ω^{- 1} (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t} . \end{aligned}

考虑 [11.1.15] 中的中间项。由于这是一个标量，应用"迹"算子不会改变它：

\begin{aligned} (11.1.16) & \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} Ω^{- 1} (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t} & = trace [\sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} Ω^{- 1} (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t}] \\ = trace [\sum_{t = 1}^{T} Ω^{- 1} (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'}] \\ = trace [Ω^{- 1} (\hat{Π} - Π)^{'} \sum_{t = 1}^{T} x_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'}] . \end{aligned}

$j$ $\sum_{t=1}^{T} \mathbf{x}_t \widehat{\varepsilon}_{jt} = \mathbf{0}$ $\sum_{t=1}^{T} \mathbf{x}_t \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t' = \mathbf{0}$ 。因此，[11.1.16] 恒等于零，[11.1.15] 简化为

\begin{aligned} (11.1.17) & \sum_{t = 1}^{T} [(y_{t} - Π^{'} x_{t})^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - Π^{'} x_{t})] & = \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} Ω^{- 1} {\hat{ε}}_{t} + \sum_{t = 1}^{T} x_{t}^{'} (\hat{Π} - Π) Ω^{- 1} (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t} . \end{aligned}

$\boldsymbol{\Omega}$ $\boldsymbol{\Omega}^{-1}$ $(n \times 1)$ $\mathbf{x}_t^*$ 为

x_{t}^{*} \equiv (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t},

[11.1.17] 中的最后一项取形式

\sum_{t = 1}^{T} x_{t}^{'} (\hat{Π} - Π) Ω^{- 1} (\hat{Π} - Π)^{'} x_{t} = \sum_{t = 1}^{T} [x_{t}^{*}]^{'} Ω^{- 1} x_{t}^{*} .

$\{\mathbf{x}_t^*\}_{t=1}^{T}$ $t$ $\mathbf{x}_t^* = \mathbf{0}$ $\mathbf{x}_t^* = \mathbf{0}$ $\boldsymbol{\Pi} = \widehat{\boldsymbol{\Pi}}$ $\boldsymbol{\Pi} = \widehat{\boldsymbol{\Pi}}$ $\boldsymbol{\Pi} = \widehat{\boldsymbol{\Pi}}$ 最大化，这确立了 OLS 回归提供向量自回归系数的最大似然估计的结论，此时有

\begin{aligned} L (Ω, \hat{Π}) & = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | Ω^{- 1} | - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} Ω^{- 1} {\hat{ε}}_{t} . \end{aligned}

Some Useful Results on Matrix Derivatives

$\boldsymbol{\Omega}$ $a_{ij}$ $(n \times n)$ $\mathbf{A}$ $i$ $j$ $\mathbf{A}$ $i \neq k$ $j \neq l$ $a_{ij}$ $a_{kl}$ $(n \times 1)$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{x}' \mathbf{A} \mathbf{x}$ 。二次型可以显式写成

\begin{matrix} (11.1.18) & x^{'} A x = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} a_{i j} x_{j}, \end{matrix}

由此

\begin{matrix} (11.1.19) & \frac{\partial x^{'} A x}{\partial a_{i j}} = x_{i} x_{j} . \end{matrix}

$n^2$ $(n \times n)$ 矩阵中，方程 [11.1.19] 可以方便地用矩阵形式表示为

\begin{matrix} (11.1.20) & \frac{\partial x^{'} A x}{\partial A} = x x^{'} . \end{matrix}

$\mathbf{A}$ $(n \times n)$ 矩阵，具有正行列式。则

\begin{matrix} (11.1.21) & \frac{\partial \log | A |}{\partial a_{i j}} = a^{j i}, \end{matrix}

$a^{ji}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $j$ $i$ 列元素。用矩阵形式表示为

\begin{matrix} (11.1.22) & \frac{\partial \log | A |}{\partial A} = (A^{'})^{- 1} . \end{matrix}

$\mathbf{A}$ 的行列式公式：

\begin{matrix} (11.1.23) & | A | = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} | A_{i j} |, \end{matrix}

$\mathbf{A}_{ij}$ $\mathbf{A}$ $i$ $j$ $(n-1) \times (n-1)$ $a_{ij}$ 的导数是

\begin{matrix} (11.1.24) & \frac{\partial | A |}{\partial a_{i j}} = (- 1)^{i + j} | A_{i j} |, \end{matrix}

$a_{ij}$ $\mathbf{A}_{ij}$ 中。因此

\frac{\partial \log | A |}{\partial a_{i j}} = \frac{1}{| A |} \cdot \frac{\partial | A |}{\partial a_{i j}} = \frac{1}{| A |} \cdot (- 1)^{i + j} | A_{i j} |,

$\mathbf{A}^{-1}$ $j$ $i$ 列元素为：

a^{j i} = \frac{1}{| A |} \cdot (- 1)^{i + j} | A_{i j} |,

$\frac{\partial \log |\mathbf{A}|}{\partial a_{ij}} = a^{ji}$ ，这正是方程 [11.1.22] 中所述的结果。

Note

$\mathbf{A}^{-1}$ $j$ $i$ $a^{ji} = \frac{1}{|\mathbf{A}|} \cdot (-1)^{i+j} |\mathbf{A}_{ij}|$ 。

$\mathbf{A}^*$ $\mathbf{A}$ $i$ $j$ $j$ $i$ 列的代数余子式：

[A^{*}]_{i j} = (- 1)^{j + i} | A_{j i} | = (- 1)^{i + j} | A_{j i} | .

$\mathbf{A} \mathbf{A}^*$ $k$ $i$ 列元素：

[A A^{*}]_{k i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{k j} \cdot [A^{*}]_{j i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{k j} \cdot (- 1)^{i + j} | A_{i j} | .

根据行列式的拉普拉斯展开性质：

$k = i$ $i$ 行的展开，因此：
$\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \cdot (- 1)^{i + j} | A_{i j} | = | A | .$
$k \neq i$ $k$ $i$ 行的代数余子式，结果为零（因为相当于计算一个有两行相同的矩阵的行列式）：
$\sum_{j = 1}^{n} a_{k j} \cdot (- 1)^{i + j} | A_{i j} | = 0.$

因此：

\begin{matrix} [A A^{*}]_{k i} = {\begin{cases} | A |, & 如果 k = i \\ 0, & 如果 k \neq i \end{cases} \end{matrix}

$\mathbf{A} \mathbf{A}^* = |\mathbf{A}| \mathbf{I}$ ，因此：

A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*} .

$\mathbf{A}^{-1}$ $j$ $i$ 列元素为：

a^{j i} = \frac{1}{| A |} [A^{*}]_{j i} = \frac{1}{| A |} \cdot (- 1)^{i + j} | A_{i j} | .

$\boldsymbol{\Omega}$

$\boldsymbol{\Omega}$ $\widehat{\boldsymbol{\Pi}}$ 时，对数似然 [11.1.10] 为

\begin{aligned} (11.1.25) & L (Ω, \hat{Π}) & = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | Ω^{- 1} | - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} Ω^{- 1} {\hat{ε}}_{t} . \end{aligned}

$\boldsymbol{\Omega}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $(n \times n)$ $\boldsymbol{\Omega}^{-1}$ 的元素求导：

\begin{aligned} (11.1.26) & \frac{\partial L (Ω, \hat{Π})}{\partial Ω^{- 1}} & = (T / 2) \frac{\partial \log | Ω^{- 1} |}{\partial Ω^{- 1}} - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} \frac{\partial {\hat{ε}}_{t}^{'} Ω^{- 1} {\hat{ε}}_{t}}{\partial Ω^{- 1}} \\ = (T / 2) Ω^{'} - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'} . \end{aligned}

当此导数设为零时，似然函数最大化，即当

\begin{matrix} (11.1.27) & Ω^{'} = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'} . \end{matrix}

$\boldsymbol{\Omega}$ $(n \times n)$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\boldsymbol{\Omega}$ 值，也由 [11.1.27] 给出：

\begin{matrix} (11.1.28) & \hat{Ω} = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'} . \end{matrix}

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$ $i$ $i$ 列元素由下式给出：

\begin{matrix} (11.1.29) & {\hat{σ}}_{i}^{2} = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{i t}^{2}, \end{matrix}

$i$ $p$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$ $i$ $j$ 列元素是

\begin{matrix} (11.1.30) & {\hat{σ}}_{i j} = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{i t} {\hat{ε}}_{j t}, \end{matrix}

$i$ $j$ 的 OLS 残差的平均乘积。

Likelihood Ratio Tests

为了进行似然比检验，我们需要计算 [11.1.25] 达到的最大值。因此，考虑

\begin{aligned} (11.1.31) & L (\hat{Ω}, \hat{Π}) & = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | {\hat{Ω}}^{- 1} | - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} {\hat{Ω}}^{- 1} {\hat{ε}}_{t}, \end{aligned}

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$ 由 [11.1.28] 给出。[11.1.31] 中的最后一项是

\begin{aligned} (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} {\hat{Ω}}^{- 1} {\hat{ε}}_{t} & = (1 / 2) trace [\sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} {\hat{Ω}}^{- 1} {\hat{ε}}_{t}] \\ = (1 / 2) trace [\sum_{t = 1}^{T} {\hat{Ω}}^{- 1} {\hat{ε}}_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'}] \\ = (1 / 2) trace [{\hat{Ω}}^{- 1} (T \hat{Ω})] \\ = (1 / 2) trace (T \cdot I_{n}) \\ = T n / 2. \end{aligned}

将此代入 [11.1.31] 得到

\begin{matrix} (11.1.32) & L (\hat{Ω}, \hat{Π}) = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | {\hat{Ω}}^{- 1} | - (T n / 2) . \end{matrix}

$p_0$ $p_1 > p_0$ $p_0$ $n$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_0 = (1/T) \sum_{t=1}^{T} \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t(p_0) [\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t(p_0)]'$ $H_0$ 下对数似然的最大值则为

L_{0}^{*} = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | {\hat{Ω}}_{0}^{- 1} | - (T n / 2) .

$p_1$ 个滞后的 OLS 回归进行估计。在备择假设下最大化的对数似然为

L_{1}^{*} = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | {\hat{Ω}}_{1}^{- 1} | - (T n / 2),

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_1$ 是第二组回归的残差的方差-协方差矩阵。对数似然比的两倍则为

\begin{aligned} (11.1.33) & 2 (L_{1}^{*} - L_{0}^{*}) & = 2 {(T / 2) \log | {\hat{Ω}}_{1}^{- 1} | - (T / 2) \log | {\hat{Ω}}_{0}^{- 1} |} \\ = T \log (1 / | {\hat{Ω}}_{1} |) - T \log (1 / | {\hat{Ω}}_{0} |) \\ = - T \log | {\hat{Ω}}_{1} | + T \log | {\hat{Ω}}_{0} | \\ = T {\log | {\hat{Ω}}_{0} | - \log | {\hat{Ω}}_{1} |} . \end{aligned}

$\chi^2$ $H_0$ 下施加的限制数量。

自由度计算的详细说明：

$p$ $n$ 个变量的滞后项。具体来说：

$H_1$ $p_1$ $n$ $p_1$ $1 + np_1$ 个参数。
$H_0$ $p_0$ $n$ $p_0$ $1 + np_0$ 个参数。

$H_0$ $H_1$ $(1 + np_1) - (1 + np_0) = n(p_1 - p_0)$ $n(p_1 - p_0)$ $H_0$ 对每个方程施加的限制数量（即强制这些参数为零）。

$n$ $H_0$ 对整个系统施加的总限制数量为：

n \times n (p_{1} - p_{0}) = n^{2} (p_{1} - p_{0}) .

$n^2(p_1 - p_0)$ $\chi^2$ 分布。

$n = 2, p_0 = 3, p_1 = 4$ $y_{-3}, y_{-2}, \ldots, y_{46}$ $T = 46$ $\widehat{\varepsilon}_{it}(p_0)$ $y_{it}$ $y_{1t}$ $y_{2t}$ $t$ $(1/T) \sum_{t=1}^{T} [\widehat{\varepsilon}_{1t}(p_0)]^2 = 2.0$ $(1/T) \sum_{t=1}^{T} [\widehat{\varepsilon}_{2t}(p_0)]^2 = 2.5$ $(1/T) \sum_{t=1}^{T} \widehat{\varepsilon}_{1t}(p_0) \widehat{\varepsilon}_{2t}(p_0) = 1.0$ 。则

\begin{matrix} {\hat{Ω}}_{0} = [\begin{matrix} 2.0 & 1.0 \\ 1.0 & 2.5 \end{matrix}] \end{matrix}

$\log |\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_0| = \log 4 = 1.386$ 。假设当在每个回归中添加第四个滞后时，残差协方差矩阵减少到

\begin{matrix} {\hat{Ω}}_{1} = [\begin{matrix} 1.8 & 0.9 \\ 0.9 & 2.2 \end{matrix}] \end{matrix}

$\log |\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_1| = 1.147$ 。则

2 (L_{1}^{*} - L_{0}^{*}) = 46 (1.386 - 1.147) = 10.99 .

$2^2(4 - 3) = 4$ $10.99 > 9.49$ $\chi^2(4)$ 变量的 5% 临界值），零假设被拒绝。动态不能完全由三滞后 VAR 捕获，四滞后似乎更可取。

Sims (1980, p. 17) 建议对似然比检验进行修改，以考虑小样本偏差。他建议用下式替换 [11.1.33]：

\begin{matrix} (11.1.34) & (T - k) {\log | {\hat{Ω}}_{0} | - \log | {\hat{Ω}}_{1} |}, \end{matrix}

$k = 1 + np_1$ 是每个方程估计的参数数量。调整后的检验与 [11.1.33] 具有相同的渐近分布，但在小样本中不太可能拒绝零假设。对于当前示例，此检验统计量将为

(46 - 9) (1.386 - 1.147) = 8.84,

$H_0$ 将被接受）。

$\widehat{\boldsymbol{\Pi}}$

$\widehat{\boldsymbol{\Pi}}$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$ $\widehat{\boldsymbol{\Pi}}$ 的标准误可以基于通常的 OLS 公式，如下面的命题所示。

Important

命题 11.1： 设

y_{t} = c + Φ_{1} y_{t - 1} + Φ_{2} y_{t - 2} + \dots + Φ_{p} y_{t - p} + ε_{t},

$\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\mathbf{0}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $i, j, l, m$ $E(\varepsilon_{it} \varepsilon_{jt} \varepsilon_{lt} \varepsilon_{mt}) < \infty$ ，并且

\begin{matrix} (11.1.35) & | I_{n} - Φ_{1} z - Φ_{2} z^{2} - \dots - Φ_{p} z^{p} | = 0 \end{matrix}

$k \equiv np + 1$ $\mathbf{x}_t'$ $(1 \times k)$ 向量

x_{t}^{'} \equiv [\begin{matrix} 1 & y_{t - 1}^{'} & y_{t - 2}^{'} & \dots & y_{t - p}^{'} \end{matrix}] .

$\widehat{\boldsymbol{\pi}}_T = \operatorname{vec}(\widehat{\boldsymbol{\Pi}}_T)$ $T$ $\mathbf{y}_t$ $\mathbf{x}_t$ $(nk \times 1)$ 系数向量：

\begin{matrix} {\hat{π}}_{T} = [\begin{matrix} {\hat{π}}_{1, T} \\ {\hat{π}}_{2, T} \\ ⋮ \\ {\hat{π}}_{n, T} \end{matrix}] \end{matrix}

其中

{\hat{π}}_{i, T} = {[\sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'}]}^{- 1} [\sum_{t = 1}^{T} x_{t} y_{i t}];

$\boldsymbol{\pi}$ $(nk \times 1)$ 向量。最后，设

{\hat{Ω}}_{T} = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'}

其中

{\hat{ε}}_{t}^{'} = [\begin{matrix} {\hat{ε}}_{1 t} & {\hat{ε}}_{2 t} & \dots & {\hat{ε}}_{n t} \end{matrix}]

{\hat{ε}}_{i t} = y_{i t} - x_{t}^{'} {\hat{π}}_{i, T} .

则

$(1/T) \sum_{t=1}^{T} \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t' \overset{p}{\rightarrow} \mathbf{Q}$ $\mathbf{Q} = E(\mathbf{x}_t \mathbf{x}_t')$ ；

$\widehat{\boldsymbol{\pi}}_T \overset{p}{\rightarrow} \boldsymbol{\pi}$ ；

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T \overset{p}{\rightarrow} \boldsymbol{\Omega}$ ；

$\sqrt{T}(\widehat{\boldsymbol{\pi}}_T - \boldsymbol{\pi}) \overset{L}{\rightarrow} N(\mathbf{0}, (\boldsymbol{\Omega} \otimes \mathbf{Q}^{-1}))$ $\otimes$ 表示 Kronecker 积。

证明：

证明 (a)： $MA(\infty)$ $\mathbf{y}_t$ 对一阶矩是遍历的，由命题 10.2(d)，对二阶矩也是遍历的。这就建立了结果 11.1(a)。

证明 (b) 和 (c)： 结果 (b) 和 (c) 的证明与具有随机回归变量的单个 OLS 回归的证明几乎相同（结果 [8.2.5] 和 [8.2.12]）。

证明 (d)： 注意到

\begin{aligned} \sqrt{T} ({\hat{π}}_{i, T} - π_{i}) & = {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'}]}^{- 1} [(1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} ε_{i t}], \end{aligned}

因此

\begin{aligned} (11.A.1) & \sqrt{T} ({\hat{π}}_{T} - π) & = [\begin{array}{c} Q_{T}^{- 1} (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} ε_{1 t} \\ Q_{T}^{- 1} (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} ε_{2 t} \\ ⋮ \\ Q_{T}^{- 1} (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} ε_{n t} \end{array}], \end{aligned}

其中

Q_{T} \equiv [(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'}] .

$\boldsymbol{\xi}_t$ $(nk \times 1)$ 向量：

\begin{matrix} ξ_{t} \equiv [\begin{matrix} x_{t} ε_{1 t} \\ x_{t} ε_{2 t} \\ ⋮ \\ x_{t} ε_{n t} \end{matrix}] . \end{matrix}

$\boldsymbol{\xi}_t$ 是具有有限四阶矩的鞅差分序列，其方差为

\begin{aligned} E (ξ_{t} ξ_{t}^{'}) & = [\begin{array}{c} E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{1 t}^{2}) & E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{1 t} ε_{2 t}) & \dots & E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{1 t} ε_{n t}) \\ E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{2 t} ε_{1 t}) & E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{2 t}^{2}) & \dots & E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{2 t} ε_{n t}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{n t} ε_{1 t}) & E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{n t} ε_{2 t}) & \dots & E (x_{t} x_{t}^{'}) \cdot E (ε_{n t}^{2}) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} E (ε_{1 t}^{2}) & E (ε_{1 t} ε_{2 t}) & \dots & E (ε_{1 t} ε_{n t}) \\ E (ε_{2 t} ε_{1 t}) & E (ε_{2 t}^{2}) & \dots & E (ε_{2 t} ε_{n t}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ E (ε_{n t} ε_{1 t}) & E (ε_{n t} ε_{2 t}) & \dots & E (ε_{n t}^{2}) \end{array}] \otimes E (x_{t} x_{t}^{'}) \\ = Ω \otimes Q . \end{aligned}

可以进一步证明

\begin{matrix} (11.A.2) & (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} ξ_{t} ξ_{t}^{'} \overset{p}{\to} Ω \otimes Q . \end{matrix}

由命题 7.9 可得

\begin{matrix} (11.A.3) & (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} ξ_{t} \overset{L}{\to} N (0, (Ω \otimes Q)) . \end{matrix}

现在，表达式 [11.A.1] 可以写成

\begin{aligned} \sqrt{T} ({\hat{π}}_{T} - π) & = [\begin{array}{c} Q_{T}^{- 1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & Q_{T}^{- 1} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & Q_{T}^{- 1} \end{array}] [\begin{array}{c} (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} ε_{1 t} \\ (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} ε_{2 t} \\ ⋮ \\ (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} ε_{n t} \end{array}] \\ = (I_{n} \otimes Q_{T}^{- 1}) (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} ξ_{t} . \end{aligned}

$\mathbf{Q}_T^{-1} \overset{p}{\rightarrow} \mathbf{Q}^{-1}$ 。因此，

\begin{matrix} (11.A.4) & \sqrt{T} ({\hat{π}}_{T} - π) \overset{L}{\to} (I_{n} \otimes Q^{- 1}) (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} ξ_{t} . \end{matrix}

但由 [11.A.3]，这具有均值为 0、方差为

\begin{aligned} (I_{n} \otimes Q^{- 1}) (Ω \otimes Q) (I_{n} \otimes Q^{- 1}) & = (I_{n} Ω I_{n}) \otimes (Q^{- 1} Q Q^{- 1}) = Ω \otimes Q^{- 1}, \end{aligned}

的高斯分布，如所声称的。

证毕。

$\widehat{\boldsymbol{\pi}}_{i,T}$ $i$ 个回归的系数）感兴趣，结果 (d) 意味着

\begin{matrix} (11.1.36) & \sqrt{T} ({\hat{π}}_{i, T} - π_{i}) \overset{L}{\to} N (0, σ_{i}^{2} Q^{- 1}), \end{matrix}

$\sigma_i^2 = E(\varepsilon_{it}^2)$ $i$ $\sigma_i^2$ $\widehat{\sigma}_i^2 = (1/T) \sum_{t=1}^{T} \widehat{\varepsilon}_{it}^2$ $\mathbf{Q}^{-1}$ $[(1/T) \sum_{t=1}^{T} \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t']^{-1}$ $\widehat{\boldsymbol{\pi}}_i$ 近似地视为

\begin{matrix} (11.1.37) & {\hat{π}}_{i} \approx N (π_{i}, {\hat{σ}}_{i}^{2} {[\sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'}]}^{- 1}) . \end{matrix}

$s_i^2 = [1/(T-k)] \sum_{t=1}^{T} \widehat{\varepsilon}_{it}^2$ $\widehat{\sigma}_i^2$ $s_i^2$ $\widehat{\sigma}_i^2$ $t$ $F$ 统计量是渐近有效的，可以按通常的方式评估。

$\mathbf{R} \boldsymbol{\pi} = \mathbf{r}$ $\chi^2$ 检验的 Wald 形式的推广（表达式 [8.2.23]）进行检验。命题 11.1 的结果 (d) 确立了

\sqrt{T} (R {\hat{π}}_{T} - r) \overset{L}{\to} N (0, R (Ω \otimes Q^{- 1}) R^{'}) .

根据结果 (a) 和 (c)，渐近分布可以等价地描述为

\sqrt{T} (R {\hat{π}}_{T} - r) \overset{p}{\to} N (0, R ({\hat{Ω}}_{T} \otimes Q_{T}^{- 1}) R^{'}),

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T = (1/T) \sum_{t=1}^{T} \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t'$ $\mathbf{Q}_T = (1/T) \sum_{t=1}^{T} \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t'$ $\chi^2$ 分布：

\begin{aligned} (11.1.38) & χ^{2} (m) & = T (R {\hat{π}}_{T} - r)^{'} [R ({\hat{Ω}}_{T} \otimes Q_{T}^{- 1}) R^{'}]^{- 1} (R {\hat{π}}_{T} - r) \\ = (R {\hat{π}}_{T} - r)^{'} {R [{\hat{Ω}}_{T} \otimes {(\sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'})}^{- 1}] R^{'}}^{- 1} (R {\hat{π}}_{T} - r) . \end{aligned}

$\mathbf{R}$ 的行数给出，或所检验的限制数量。

$(c_1)$ $(c_2)$ $\mathbf{R}$ $(1 \times nk)$ $(k+1)$ 个位置为 -1，其他位置为 0：

R = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}] .

$\mathbf{R}$ 写成 Kronecker 积形式会很方便：

\begin{matrix} (11.1.39) & R = R_{n} \otimes R_{k}, \end{matrix}

$\mathbf{R}_n$ $\mathbf{R}_k$ 选择系数。对于此示例，

\begin{aligned} R_{n} & = [\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array}] \\ R_{k} & = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array}] . \end{aligned}

然后我们计算

\begin{aligned} R [\hat{Ω} \otimes {(\sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'})}^{- 1}] R^{'} & = (R_{n} \otimes R_{k}) [\hat{Ω} \otimes {(\sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'})}^{- 1}] (R_{n}^{'} \otimes R_{k}^{'}) \\ = (R_{n} \hat{Ω} R_{n}^{'}) \otimes [R_{k} {(\sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'})}^{- 1} R_{k}^{'}] \\ = ({\hat{σ}}_{1}^{2} - 2 {\hat{σ}}_{12} + {\hat{σ}}_{2}^{2}) \otimes ξ^{11}, \end{aligned}

$\widehat{\sigma}_{12}$ $\widehat{\varepsilon}_{1t}$ $\widehat{\varepsilon}_{2t}$ $\xi^{11}$ $(\sum_{t=1}^{T} \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t')^{-1}$ $(1,1)$ $\xi^{11}$ 是标量，上述 Kronecker 积是简单乘法。检验统计量 [11.1.38] 则为

χ^{2} (1) = \frac{({\hat{c}}_{1} - {\hat{c}}_{2})^{2}}{({\hat{σ}}_{1}^{2} - 2 {\hat{σ}}_{12} + {\hat{σ}}_{2}^{2}) ξ^{11}} .

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$

$\boldsymbol{\Omega}$ $(n \times n)$ $(n^2 \times 1)$ 向量。例如，

\begin{matrix} (11.1.40) & \begin{matrix} vec [\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{21} \\ σ_{31} \\ σ_{12} \\ σ_{22} \\ σ_{32} \\ σ_{13} \\ σ_{23} \\ σ_{33} \end{matrix}] . \end{matrix} \end{matrix}

$(n \times n)$ $[n(n+1)/2 \times 1]$ 向量。例如，

\begin{matrix} (11.1.41) & \begin{matrix} vech [\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{21} \\ σ_{31} \\ σ_{22} \\ σ_{32} \\ σ_{33} \end{matrix}] . \end{matrix} \end{matrix}

Important

命题 11.2： 设

y_{t} = c + Φ_{1} y_{t - 1} + Φ_{2} y_{t - 2} + \dots + Φ_{p} y_{t - p} + ε_{t},

$\boldsymbol{\varepsilon}_t \sim$ $N(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Omega})$ ，并且

| I_{n} - Φ_{1} z - Φ_{2} z^{2} - \dots - Φ_{p} z^{p} | = 0

$\widehat{\boldsymbol{\pi}}_T, \widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T$ $\mathbf{Q}$ 如命题 11.1 中定义。则

[\begin{matrix} \sqrt{T} [{\hat{π}}_{T} - π] \\ \sqrt{T} [vech ({\hat{Ω}}_{T}) - vech (Ω)] \end{matrix}] \overset{L}{\to} N ([\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} (Ω \otimes Q^{- 1}) & 0 \\ 0 & Σ_{22} \end{matrix}]) .

$\sigma_{ij}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $i$ $j$ $\sigma_{11}$ $\varepsilon_{1t}$ $\boldsymbol{\Sigma}_{22}$ $\widehat{\sigma}_{ij}$ $\widehat{\sigma}_{lm}$ $(\sigma_{il} \sigma_{jm} + \sigma_{im} \sigma_{jl})$ $i, j, l, m = 1, 2, \ldots, n$ $i = j = l = m$ 。

证明：

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T^* \equiv (1/T) \sum_{t=1}^{T} \boldsymbol{\varepsilon}_t \boldsymbol{\varepsilon}_t'$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T^*$ 具有相同的渐近分布。为了看到这一点，注意到

\begin{aligned} {\hat{Ω}}_{T}^{*} & = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (y_{t} - Π^{'} x_{t}) (y_{t} - Π^{'} x_{t})^{'} \\ = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} [y_{t} - {\hat{Π}}_{T}^{'} x_{t} + ({\hat{Π}}_{T} - Π)^{'} x_{t}] [y_{t} - {\hat{Π}}_{T}^{'} x_{t} + ({\hat{Π}}_{T} - Π)^{'} x_{t}]^{'} \\ (11.A.5) & = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (y_{t} - {\hat{Π}}_{T}^{'} x_{t}) (y_{t} - {\hat{Π}}_{T}^{'} x_{t})^{'} \\ + ({\hat{Π}}_{T} - Π)^{'} (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'} ({\hat{Π}}_{T} - Π) \\ = {\hat{Ω}}_{T} + ({\hat{Π}}_{T} - Π)^{'} (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'} ({\hat{Π}}_{T} - Π), \end{aligned}

$(1/T) \sum_{t=1}^{T} (\mathbf{y}_t - \widehat{\boldsymbol{\Pi}}_T' \mathbf{x}_t) \mathbf{x}_t' = \mathbf{0}$ 。方程 [11.A.5] 意味着

\sqrt{T} ({\hat{Ω}}_{T}^{*} - {\hat{Ω}}_{T}) = ({\hat{Π}}_{T} - Π)^{'} (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'} [\sqrt{T} ({\hat{Π}}_{T} - Π)] .

$(\widehat{\boldsymbol{\Pi}}_T - \boldsymbol{\Pi})' \overset{p}{\rightarrow} \mathbf{0}$ $(1/T) \sum_{t=1}^{T} \mathbf{x}_t \mathbf{x}_t' \overset{p}{\rightarrow} \mathbf{Q}$ $\sqrt{T}(\widehat{\boldsymbol{\Pi}}_T - \boldsymbol{\Pi})$ $\sqrt{T}(\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T^* - \widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T) \overset{p}{\rightarrow} \mathbf{0}$ $\sqrt{T}(\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T^* - \boldsymbol{\Omega}) \overset{p}{\rightarrow} \sqrt{T}(\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T - \boldsymbol{\Omega})$ 。

回忆 [11.A.4]，

\begin{matrix} (11.A.6) & [\begin{matrix} \sqrt{T} [{\hat{π}}_{T} - π] \\ \sqrt{T} [vech ({\hat{Ω}}_{T}) - vech (Ω)] \end{matrix}] \overset{p}{\to} [\begin{matrix} (I_{n} \otimes Q^{- 1}) (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} ξ_{t} \\ (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} λ_{t} \end{matrix}], \end{matrix}

$\boldsymbol{\xi}_t = \boldsymbol{\varepsilon}_t \otimes \mathbf{x}_t$ ，且

\begin{matrix} λ_{t} \equiv vech [\begin{matrix} ε_{1 t}^{2} - σ_{11} & ε_{1 t} ε_{2 t} - σ_{12} & \dots & ε_{1 t} ε_{n t} - σ_{1 n} \\ ε_{2 t} ε_{1 t} - σ_{21} & ε_{2 t}^{2} - σ_{22} & \dots & ε_{2 t} ε_{n t} - σ_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ε_{n t} ε_{1 t} - σ_{n 1} & ε_{n t} ε_{2 t} - σ_{n 2} & \dots & ε_{n t}^{2} - σ_{n n} \end{matrix}] . \end{matrix}

$(\boldsymbol{\xi}_t', \boldsymbol{\lambda}_t')'$ 是满足命题 7.9 条件的鞅差分序列，由此

\begin{matrix} (11.A.7) & [\begin{matrix} (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} ξ_{t} \\ (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} λ_{t} \end{matrix}] \overset{L}{\to} N ([\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]), \end{matrix}

其中

[\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} E (ξ_{t} ξ_{t}^{'}) & E (ξ_{t} λ_{t}^{'}) \\ E (λ_{t} ξ_{t}^{'}) & E (λ_{t} λ_{t}^{'}) \end{matrix}] .

回忆命题 11.1 的证明，

Σ_{11} = E (ξ_{t} ξ_{t}^{'}) = Ω \otimes Q .

$\boldsymbol{\Sigma}_{12}$ 的典型元素形式为

E (x_{t} ε_{l t}) (ε_{i t} ε_{j t} - σ_{i j}) = E (x_{t}) \cdot E (ε_{l t} ε_{i t} ε_{j t}) - σ_{i j} \cdot E (x_{t}) \cdot E (ε_{l t}),

$i, j, l$ 都等于零。因此，[11.A.7] 变为

[\begin{matrix} (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} ξ_{t} \\ (1 / \sqrt{T}) \sum_{t = 1}^{T} λ_{t} \end{matrix}] \overset{L}{\to} N ([\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} Ω \otimes Q & 0 \\ 0 & Σ_{22} \end{matrix}]),

因此，由 [11.A.6]，

[\begin{matrix} \sqrt{T} [{\hat{π}}_{T} - π] \\ \sqrt{T} [vech ({\hat{Ω}}_{T}) - vech (Ω)] \end{matrix}] \overset{L}{\to} N ([\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} Ω \otimes Q^{- 1} & 0 \\ 0 & Σ_{22} \end{matrix}]) .

$E(\boldsymbol{\lambda}_t \boldsymbol{\lambda}_t')$ $\boldsymbol{\Sigma}_{22}$ 给出，则命题 11.2 将被确立；也就是说，我们必须证明

\begin{matrix} (11.A.8) & E [(ε_{i t} ε_{j t} - σ_{i j}) (ε_{l t} ε_{m t} - σ_{l m})] = σ_{i l} σ_{j m} + σ_{i m} σ_{j l} \end{matrix}

$i, j, l, m$ 成立。

$\boldsymbol{\Omega} = \mathbf{P} \mathbf{P}'$ $\boldsymbol{\Omega}$ 的 Cholesky 分解，并定义

\begin{matrix} (11.A.9) & v_{t} \equiv P^{- 1} ε_{t} . \end{matrix}

$E(\mathbf{v}_t \mathbf{v}_t') = \mathbf{P}^{-1} \boldsymbol{\Omega} (\mathbf{P}^{-1})' = \mathbf{I}_n$ $v_{it}$ $E(v_{it}^4) = 3$ $v_{it}$ $v_{jt}$ $i \neq j$ 独立。

方程 [11.A.9] 意味着

\begin{matrix} (11.A.10) & ε_{t} = P v_{t} . \end{matrix}

$p_{ij}$ $\mathbf{P}$ $i$ $j$ $i$ 行表明

\begin{matrix} (11.A.11) & ε_{i t} = p_{i 1} v_{1 t} + p_{i 2} v_{2 t} + \dots + p_{i n} v_{n t} \end{matrix}

且

\begin{matrix} (11.A.12) & ε_{i t} ε_{j t} = (p_{i 1} v_{1 t} + p_{i 2} v_{2 t} + \dots + p_{i n} v_{n t}) \times (p_{j 1} v_{1 t} + p_{j 2} v_{2 t} + \dots + p_{j n} v_{n t}) . \end{matrix}

$\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $E(v_{it} v_{jt}) = 1$ $i = j$ ，否则为零：

\begin{matrix} (11.A.13) & E (ε_{i t} ε_{j t}) = p_{i 1} p_{j 1} + p_{i 2} p_{j 2} + \dots + p_{i n} p_{j n} . \end{matrix}

类似地，四阶矩可以从 [11.A.11] 和 [11.A.12] 的展开得到。经过详细计算（见源文件），可以证明

\begin{matrix} (11.A.14) & E (ε_{i t} ε_{j t} ε_{l t} ε_{m t}) = σ_{i l} σ_{j m} + σ_{i l} σ_{j m} + σ_{i m} σ_{j l}, \end{matrix}

其中最后一行由 [11.A.13] 得出。则

E [(ε_{i t} ε_{j t} - σ_{i j}) (ε_{l t} ε_{m t} - σ_{l m})] = E (ε_{i t} ε_{j t} ε_{l t} ε_{m t}) - σ_{i j} σ_{l m} = σ_{i l} σ_{j m} + σ_{i m} σ_{j l},

如 [11.A.8] 中声称的。

证毕。

$n = 2$ ，命题 11.2 意味着

\begin{matrix} (11.1.42) & \begin{matrix} \sqrt{T} [\begin{matrix} {\hat{σ}}_{11, T} - σ_{11} \\ {\hat{σ}}_{12, T} - σ_{12} \\ {\hat{σ}}_{22, T} - σ_{22} \end{matrix}] \overset{L}{\to} N ([\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 2 σ_{11}^{2} & 2 σ_{11} σ_{12} & 2 σ_{12}^{2} \\ 2 σ_{11} σ_{12} & σ_{11} σ_{22} + σ_{12}^{2} & 2 σ_{12} σ_{22} \\ 2 σ_{12}^{2} & 2 σ_{12} σ_{22} & 2 σ_{22}^{2} \end{matrix}]) . \end{matrix} \end{matrix}

$\varepsilon_{1t}$ $\varepsilon_{2t}$ 之间没有协方差的零假设的 Wald 检验由下式给出：

\frac{\sqrt{T} {\hat{σ}}_{12}}{({\hat{σ}}_{11} {\hat{σ}}_{22} + {\hat{σ}}_{12}^{2})^{1 / 2}} \approx N (0, 1) .

$\varepsilon_{1t}$ $\varepsilon_{2t}$ 具有相同方差的零假设的 Wald 检验由下式给出：

\frac{T ({\hat{σ}}_{11} - {\hat{σ}}_{22})^{2}}{2 {\hat{σ}}_{11}^{2} - 4 {\hat{σ}}_{12}^{2} + 2 {\hat{σ}}_{22}^{2}} \approx χ^{2} (1),

$\widehat{\sigma}_{11}^2$ 表示第一个方程的创新项的估计方差的平方。

$\boldsymbol{\Sigma}_{22}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\operatorname{vec}(\boldsymbol{\Omega})$ $n^2$ $\operatorname{vech}(\boldsymbol{\Omega})$ $n(n+1)/2$ $[n^2 \times n(n+1)/2]$ $\mathbf{D}_n$ $\operatorname{vech}(\boldsymbol{\Omega})$ $\operatorname{vec}(\boldsymbol{\Omega})$ ，即满足

\begin{matrix} (11.1.43) & D_{n} vech (Ω) = vec (Ω) . \end{matrix}

$n = 2$ ，方程 [11.1.43] 是

\begin{matrix} (11.1.44) & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{21} \\ σ_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{21} \\ σ_{12} \\ σ_{22} \end{matrix}] . \end{matrix}

$\mathbf{D}_n^+$ $[n(n+1)/2 \times n^2]$ 矩阵：

\begin{matrix} (11.1.45) & D_{n}^{+} \equiv (D_{n}^{'} D_{n})^{- 1} D_{n}^{'} . \end{matrix}

$\mathbf{D}_n^+ \mathbf{D}_n = \mathbf{I}_{n(n+1)/2}$ $\mathbf{D}_n^+$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\mathbf{D}_n^+$ $\operatorname{vec}(\boldsymbol{\Omega})$ $\operatorname{vech}(\boldsymbol{\Omega})$ 的矩阵：

\begin{matrix} (11.1.46) & vech (Ω) = D_{n}^{+} vec (Ω) . \end{matrix}

$n = 2$ ，方程 [11.1.46] 是

\begin{matrix} (11.1.47) & [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{21} \\ σ_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{21} \\ σ_{12} \\ σ_{22} \end{matrix}] . \end{matrix}

$\boldsymbol{\Sigma}_{22}$ 可以写成

\begin{matrix} (11.1.48) & Σ_{22} = 2 D_{n}^{+} (Ω \otimes Ω) (D_{n}^{+})^{'} . \end{matrix}

$n = 2$ ，表达式 [11.1.48] 变为

\begin{aligned} 2 D_{2}^{+} (Ω \otimes Ω) (D_{2}^{+})^{'} & = 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} σ_{11} σ_{11} & σ_{11} σ_{12} & σ_{12} σ_{11} & σ_{12} σ_{12} \\ σ_{11} σ_{21} & σ_{11} σ_{22} & σ_{12} σ_{21} & σ_{12} σ_{22} \\ σ_{21} σ_{11} & σ_{21} σ_{12} & σ_{22} σ_{11} & σ_{22} σ_{12} \\ σ_{21} σ_{21} & σ_{21} σ_{22} & σ_{22} σ_{21} & σ_{22} σ_{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 σ_{11}^{2} & 2 σ_{11} σ_{12} & 2 σ_{12}^{2} \\ 2 σ_{11} σ_{12} & σ_{11} σ_{22} + σ_{12}^{2} & 2 σ_{12} σ_{22} \\ 2 σ_{12}^{2} & 2 σ_{12} σ_{22} & 2 σ_{22}^{2} \end{array}], \end{aligned}

这就是 [11.1.42]。

11.2 Bivariate Granger Causality Tests

向量自回归可以解决的关键问题之一是某些变量对预测其他变量有多大用处。

Definition of Bivariate Granger Causality

$y$ $x$ $y$ $x$ $s > 0$ $(x_t, x_{t-1}, \ldots)$ $x_{t+s}$ $(x_t, x_{t-1}, \ldots)$ $(y_t, y_{t-1}, \ldots)$ $x_{t+s}$ $y$ $x$ 的Granger原因。如果限制使用线性函数，则当

\begin{aligned} (11.2.1) & MSE [\hat{E} (x_{t + s} ∣ x_{t}, x_{t - 1}, \dots)] & = MSE [\hat{E} (x_{t + s} ∣ x_{t}, x_{t - 1}, \dots, y_{t}, y_{t - 1}, \dots)] \end{aligned}

$y$ $x$ 的Granger原因。

$x$ $y$ $y$ $x$ 不是包含线性信息的。

Alternative Implications of Granger Causality

$x$ $y$ $\boldsymbol{\Phi}_j$ $j$ $y$ $x$ 的Granger原因：

\begin{aligned} (11.2.2) & [\begin{array}{c} x_{t} \\ y_{t} \end{array}] & = [\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} ϕ_{11}^{(1)} & 0 \\ ϕ_{21}^{(1)} & ϕ_{22}^{(1)} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{t - 1} \\ y_{t - 1} \end{array}] + [\begin{array}{c} ϕ_{11}^{(2)} & 0 \\ ϕ_{21}^{(2)} & ϕ_{22}^{(2)} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{t - 2} \\ y_{t - 2} \end{array}] + \dots \\ + [\begin{array}{c} ϕ_{11}^{(p)} & 0 \\ ϕ_{21}^{(p)} & ϕ_{22}^{(p)} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{t - p} \\ y_{t - p} \end{array}] + [\begin{array}{c} ε_{1 t} \\ ε_{2 t} \end{array}] . \end{aligned}

$x$ $y$ ：

\begin{aligned} (11.2.3) & \hat{E} (x_{t + 1} ∣ x_{t}, x_{t - 1}, \dots, y_{t}, y_{t - 1}, \dots) & = c_{1} + ϕ_{11}^{(1)} x_{t} + ϕ_{11}^{(2)} x_{t - 1} + \dots + ϕ_{11}^{(p)} x_{t - p + 1} . \end{aligned}

$x_{t+2}$ 的值由下式给出：

x_{t + 2} = c_{1} + ϕ_{11}^{(1)} x_{t + 1} + ϕ_{11}^{(2)} x_{t} + \dots + ϕ_{11}^{(p)} x_{t - p + 2} + ε_{1, t + 2} .

$(x_t, x_{t-1}, \ldots, y_t, y_{t-1}, \ldots)$ $t$ $(x_t, x_{t-1}, \ldots, x_{t-p+1})$ $s$ $\boldsymbol{\Phi}_j$ $j$ $y$ $x$ 的Granger原因。

回忆方程 [10.1.19]：

Ψ_{s} = Φ_{1} Ψ_{s - 1} + Φ_{2} Ψ_{s - 2} + \dots + Φ_{p} Ψ_{s - p} for s = 1, 2, \dots,

$\boldsymbol{\Psi}_0$ $s < 0$ $\boldsymbol{\Psi}_s = \mathbf{0}$ $\boldsymbol{\Phi}_j$ $j$ $\boldsymbol{\Psi}_s$ $s$ $y$ $x$ $MA(\infty)$ 表示可以写成

\begin{matrix} (11.2.4) & [\begin{matrix} x_{t} \\ y_{t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} μ_{1} \\ μ_{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ψ_{11} (L) & 0 \\ ψ_{21} (L) & ψ_{22} (L) \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{1 t} \\ ε_{2 t} \end{matrix}], \end{matrix}

其中

ψ_{i j} (L) = ψ_{i j}^{(0)} + ψ_{i j}^{(1)} L + ψ_{i j}^{(2)} L^{2} + ψ_{i j}^{(3)} L^{3} + \dots

$\psi_{11}^{(0)} = \psi_{22}^{(0)} = 1$ $\psi_{21}^{(0)} = 0$ 。

Granger 因果关系的另一个含义由 Sims (1972) 强调。

Important

命题 11.3： $y_t$ $x$ 的线性投影

\begin{matrix} (11.2.5) & y_{t} = c + \sum_{j = 0}^{\infty} b_{j} x_{t - j} + \sum_{j = 1}^{\infty} d_{j} x_{t + j} + η_{t}, \end{matrix}

$b_j$ $d_j$ 定义为总体投影系数，即满足

E (η_{t} x_{τ}) = 0 for all t and τ

的值。

$y$ $x$ $j = 1, 2, \ldots$ $d_j = 0$ 。

证明：

$y$ $x$ $v_{2t}$ $\varepsilon_{2t}$ $\varepsilon_{1t}$ $b_0$ 定义为投影系数：

v_{2 t} = ε_{2 t} - b_{0} ε_{1 t} .

$v_{2t}$ $\varepsilon_{1t}$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $v_{2t}$ $t \neq \tau$ $\varepsilon_{1\tau}$ $v_{2t}$ $t$ $\tau$ $x_\tau$ $v_{2t}$ 的这个定义，[11.2.4] 的第二行可以写成

\begin{matrix} (11.A.15) & y_{t} = μ_{2} + ψ_{21} (L) ε_{1 t} + ψ_{22} (L) [v_{2 t} + b_{0} ε_{1 t}] . \end{matrix}

此外，从 [11.2.4] 的第一行，

\begin{matrix} (11.A.16) & ε_{1 t} = [ψ_{11} (L)]^{- 1} (x_{t} - μ_{1}) . \end{matrix}

将 [11.A.16] 代入 [11.A.15] 得到

\begin{matrix} (11.A.17) & y_{t} = c + b (L) x_{t} + η_{t}, \end{matrix}

$b(L) \equiv \{[\psi_{21}(L) + b_0 \psi_{22}(L)][\psi_{11}(L)]^{-1}\}$ $c \equiv \mu_2 - b(1) \mu_1$ $\eta_t \equiv \psi_{22}(L) v_{2t}$ $\eta_t$ $v_{2t}$ $\tau$ $x_\tau$ $x$ $b(L)$ $j$ $d_j = 0$ 。

$j$ $d_j = 0$ 。设

\begin{matrix} (11.A.18) & x_{t} = μ_{1} + ψ_{11} (L) ε_{1 t} \end{matrix}

$x_t$ $\psi_{11}^{(0)} = 1$ $x$ $\psi_{11}(L)$ 的新定义。[11.2.5] 中的误差项也存在单变量 Wold 表示，记为

\begin{matrix} (11.A.19) & η_{t} = ψ_{22} (L) v_{2 t}, \end{matrix}

$\psi_{22}^{(0)} = 1$ $\eta_t$ $t$ $s$ $x_s$ $v_{2t}$ $t$ $\tau$ $x_\tau$ $\varepsilon_{1\tau}$ 不相关。

将 [11.A.18] 和 [11.A.19] 代入 [11.2.5]，

\begin{matrix} (11.A.20) & y_{t} = c + b (1) μ_{1} + b (L) ψ_{11} (L) ε_{1 t} + ψ_{22} (L) v_{2 t} . \end{matrix}

定义

\begin{matrix} (11.A.21) & ε_{2 t} \equiv v_{2 t} + b_{0} ε_{1 t} \end{matrix}

$b_0$ $b(L)$ $L^0$ 系数，且

\begin{matrix} (11.A.22) & μ_{2} \equiv c + b (1) μ_{1} . \end{matrix}

$(\varepsilon_{1t}, \varepsilon_{2t})'$ 是向量白噪声。将 [11.A.21] 和 [11.A.22] 代入 [11.A.20] 得到

\begin{matrix} (11.A.23) & y_{t} = μ_{2} + [b (L) ψ_{11} (L) - b_{0} ψ_{22} (L)] ε_{1 t} + ψ_{22} (L) ε_{2 t} . \end{matrix}

最后，定义

ψ_{21} (L) \equiv [b (L) ψ_{11} (L) - b_{0} ψ_{22} (L)],

$\psi_{21}^{(0)} = 0$ 。然后，将其代入 [11.A.23] 得到

y_{t} = μ_{2} + ψ_{21} (L) ε_{1 t} + ψ_{22} (L) ε_{2 t} .

这与 [11.A.18] 一起完成了 [11.2.5] 意味着 [11.2.4] 的证明。

证毕。

Econometric Tests for Granger Causality

$y$ $x$ $p$ 并估计

\begin{aligned} (11.2.6) & x_{t} & = c_{1} + α_{1} x_{t - 1} + α_{2} x_{t - 2} + \dots + α_{p} x_{t - p} + β_{1} y_{t - 1} \\ + β_{2} y_{t - 2} + \dots + β_{p} y_{t - p} + u_{t} \end{aligned}

$F$ 检验：

\begin{matrix} (11.2.7) & H_{0} : β_{1} = β_{2} = \dots = β_{p} = 0. \end{matrix}

回忆命题 8.2，实施此检验的一种方法是计算 [11.2.6] 的残差平方和：

R S S_{1} = \sum_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{t}^{2}

$x_t$ 的单变量自回归的残差平方和进行比较：

R S S_{0} = \sum_{t = 1}^{T} {\hat{e}}_{t}^{2},

其中

\begin{matrix} (11.2.8) & x_{t} = c_{0} + γ_{1} x_{t - 1} + γ_{2} x_{t - 2} + \dots + γ_{p} x_{t - p} + e_{t} \end{matrix}

也通过 OLS 估计。如果

\begin{matrix} (11.2.9) & S_{1} \equiv \frac{(R S S_{0} - R S S_{1}) / p}{R S S_{1} / (T - 2 p - 1)} \end{matrix}

$F(p, T - 2p - 1)$ $y$ $x$ $S_1$ $y$ $x$ 的Granger原因。

$F$ 分布。然而，对于像 Granger 因果关系回归中那样具有滞后因变量的情况，检验仅在渐近意义下有效。渐近等价的检验由下式给出：

\begin{matrix} (11.2.10) & S_{2} \equiv \frac{T (R S S_{0} - R S S_{1})}{R S S_{1}} . \end{matrix}

$S_2$ $\chi^2(p)$ $y$ $x$ 的Granger原因的零假设。

$\eta_t$ $j$ $d_j = 0$ $F$ $\eta_t$ $\eta_t = \psi_{22}(L) v_{2t}$ $h(L) \equiv [\psi_{22}(L)]^{-1}$ 得到

\begin{matrix} (11.2.11) & y_{t} = c_{2} - \sum_{j = 1}^{\infty} h_{j} y_{t - j} + \sum_{j = 0}^{\infty} b_{j}^{*} x_{t - j} + \sum_{j = 1}^{\infty} d_{j}^{*} x_{t + j} + v_{2 t} . \end{matrix}

$j$ $d_j^* = 0$ $j$ $d_j = 0$ $d_1^* = d_2^* = \cdots = d_p^* = 0$ $F$ $y$ $x$ 的Granger原因的零假设。

Interpreting Granger-Causality Tests

"Granger 因果关系"与"因果关系"的标准含义有何关系？我们用几个例子来探讨这个问题。

例子 11.1：Granger 因果关系检验与前瞻性行为
$t$ $P_t$ $t+1$ $D_{t+1}$ $P_{t+1}$ $r_{t+1}$ ）定义为
$\begin{matrix} (11.2.12) & (1 + r_{t + 1}) P_{t} \equiv P_{t + 1} + D_{t + 1} . \end{matrix}$
$r$ ：
$\begin{matrix} (11.2.13) & (1 + r) P_{t} = E_{t} [P_{t + 1} + D_{t + 1}] . \end{matrix}$
$E_t$ $t$ $t$ $t$ $P_t$ 上升，直到 [11.2.13] 得到满足。这种观点有时被称为有效市场假说。
正如Chapter 2 中关于方程 [2.5.15] 的讨论所指出的，方程 [11.2.13] 连同有界性条件意味着
$\begin{matrix} (11.2.14) & P_{t} = E_{t} \sum_{j = 1}^{\infty} {[\frac{1}{1 + r}]}^{j} D_{t + j} . \end{matrix}$
因此，根据理论，股票价格包含了市场对未来股息现值的最好预测。如果此预测基于的信息不仅仅是过去的股息，那么当投资者试图预测股息的变动时，股票价格将是股息的Granger原因。
为了简单说明这一点，假设
$\begin{matrix} (11.2.15) & D_{t} = d + u_{t} + δ u_{t - 1} + v_{t}, \end{matrix}$
$u_t$ $v_t$ $d$ $t$ $\{u_t, u_{t-1}, \ldots\}$ $\{v_t, v_{t-1}, \ldots\}$ $D_{t+j}$ 的预测由下式给出：
$\begin{matrix} (11.2.16) & \begin{matrix} E_{t} (D_{t + j}) = {\begin{cases} d + δ u_{t} & for j = 1 \\ d & for j = 2, 3, \dots \end{cases} . \end{matrix} \end{matrix}$
将 [11.2.16] 代入 [11.2.14]，股票价格将由下式给出：
$\begin{matrix} (11.2.17) & P_{t} = d / r + δ u_{t} / (1 + r) . \end{matrix}$
因此，对于此示例，股票价格是白噪声，不能基于滞后的股票价格或股息进行预测。没有序列应该是股票价格的Granger原因。
$u_{t-1}$ 的值可以从滞后的股票价格中揭示：
$δ u_{t - 1} = (1 + r) P_{t - 1} - (1 + r) d / r .$
$u_{t-1}$ $D_t$ $\{D_{t-1}, D_{t-2}, \ldots\}$ 中包含的信息。因此，股票价格是股息的Granger原因，尽管股息不是股票价格的Granger原因。双变量 VAR 取形式
$[\begin{matrix} P_{t} \\ D_{t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} d / r \\ - d / r \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 + r & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} P_{t - 1} \\ D_{t - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} δ u_{t} / (1 + r) \\ u_{t} + v_{t} \end{matrix}] .$
因此，在此模型中，Granger 因果关系与真正的因果关系方向相反。股息不是价格的Granger原因，尽管投资者对股息的感知是股票价格的唯一决定因素。另一方面，价格确实是股息的Granger原因，尽管市场对股票的评估实际上对股息过程没有影响。
一般来说，反映前瞻性行为的时间序列，如股票价格和利率，通常被发现是许多关键经济时间序列的优秀预测因子。这显然并不意味着这些序列导致 GNP 或通货膨胀上升或下降。相反，这些序列的值反映了市场关于 GNP 或通货膨胀可能走向的最佳信息。对于此类序列的 Granger 因果关系检验可能有助于评估有效市场观点或调查市场是否关注或能够预测 GNP 或通货膨胀，但不应用于推断因果关系方向。

例子 11.2：检验严格计量经济学外生性
自第二次世界大战以来，美国除一次外的所有经济衰退都先于原油价格的急剧上涨。这是否意味着石油冲击是衰退的原因？
一种可能性是相关性是偶然的——石油冲击和衰退出现在相似时间只是偶然，尽管生成两个序列的实际过程是无关的。我们可以通过检验石油价格不是 GNP 的Granger原因的零假设来研究这种可能性。数据拒绝了这一假设——石油价格有助于预测 GNP 的值，它们对预测的贡献在统计上是显著的。这反对将相关性简单地视为巧合。
为了对这种相关性进行因果解释，必须确定石油价格上涨不是反映其他宏观经济影响，这些影响是衰退的真正原因。主要的石油价格上涨与明确的历史事件相关，如 1956-57 年的苏伊士危机、1973-74 年的阿以战争、1978-79 年的伊朗革命、1980 年两伊战争的开始以及 1990 年伊拉克入侵科威特。人们可以认为这些事件完全由美国经济之外的力量引起，基本上是难以预测的。如果这种观点是正确的，那么石油价格和 GNP 之间的历史相关性可以给出因果解释。这种观点具有可反驳的含义，即没有序列应该是石油价格的Granger原因。经验上，人们确实发现很少有宏观经济序列有助于预测这些石油冲击的时间。

$y$ $x$ $y$ $x$ 。检验可能对后一个问题有含义，但仅与其他假设结合使用。

$x$ $y$ $x$ $y$ $x$ $y$ 之间的预测关系？

例子 11.3：遗漏信息的作用
考虑以下三变量系统：
$[\begin{matrix} y_{1 t} \\ y_{2 t} \\ y_{3 t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 + δ L & L & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & L & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{1 t} \\ ε_{2 t} \\ ε_{3 t} \end{matrix}]$
其中
$\begin{matrix} E (ε_{t} ε_{s}^{'}) = {\begin{cases} [\begin{array}{c} σ_{1}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & σ_{2}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{3}^{2} \end{array}] & for t = s \\ 0 & otherwise \end{cases} . \end{matrix}$
$y_3$ $y_1$ $y_2$ $y_1$ $y_2$ 所达到的水平。
$y_1$ $y_3$ $y_1$ 的过程：
$y_{1 t} = ε_{1 t} + δ ε_{1, t - 1} + ε_{2, t - 1} .$
$y_1$ $MA(1)$ $(\varepsilon_{1t} + \delta \varepsilon_{1,t-1})$ $(\varepsilon_{2,t-1})$ $y_1$ $MA(1)$ 过程：
$y_{1 t} = u_{t} + θ u_{t - 1} .$
$u_t$ 可以表示为
$\begin{aligned} u_{t} & = (ε_{1 t} - θ ε_{1, t - 1} + θ^{2} ε_{1, t - 2} - θ^{3} ε_{1, t - 3} + \dots) \\ + δ (ε_{1, t - 1} - θ ε_{1, t - 2} + θ^{2} ε_{1, t - 3} - θ^{3} ε_{1, t - 4} + \dots) \\ + (ε_{2, t - 1} - θ ε_{2, t - 2} + θ^{2} ε_{2, t - 3} - θ^{3} ε_{2, t - 4} + \dots) . \end{aligned}$
$u_t$ $y_{3,t-1}$ 相关：
$E (u_{t}) (y_{3, t - 1}) = E (u_{t}) (ε_{3, t - 1} + ε_{2, t - 2}) = - θ σ_{2}^{2} .$
$y_3$ $y_1$ $y_1$ $y_3$ $y_1$ $y_3$ $y_2$ $y_2$ $y_1$ 。

11.3 Maximum Likelihood Estimation of Restricted Vector Autoregressions

第 11.1 节讨论了受限向量自回归的最大似然估计和假设检验。在这些系统中，VAR 的每个方程都有相同的解释变量，即常数项和系统中所有变量的滞后。我们展示了如何计算线性约束的 Wald 检验，但没有讨论在约束条件下估计系统。本节考察受限 VAR 的估计。

Granger Causality in a Multivariate Context

$(n_1 \times 1)$ $\mathbf{y}_{1t}$ $(n_2 \times 1)$ $\mathbf{y}_{2t}$ 表示。VAR 可以写成

\begin{aligned} (11.3.1) & y_{1 t} & = c_{1} + A_{1}^{'} x_{1 t} + A_{2}^{'} x_{2 t} + ε_{1 t} \\ (11.3.2) & y_{2 t} & = c_{2} + B_{1}^{'} x_{1 t} + B_{2}^{'} x_{2 t} + ε_{2 t} . \end{aligned}

$\mathbf{x}_{1t}$ $\mathbf{y}_{1t}$ $p$ $(n_1 p \times 1)$ $(n_2 p \times 1)$ $\mathbf{x}_{2t}$ $\mathbf{y}_{2t}$ $p$ 个滞后：

\begin{matrix} x_{1 t} \equiv [\begin{matrix} y_{1, t - 1} \\ y_{1, t - 2} \\ ⋮ \\ y_{1, t - p} \end{matrix}], x_{2 t} \equiv [\begin{matrix} y_{2, t - 1} \\ y_{2, t - 2} \\ ⋮ \\ y_{2, t - p} \end{matrix}] . \end{matrix}

$(n_1 \times 1)$ $(n_2 \times 1)$ $\mathbf{c}_1$ $\mathbf{c}_2$ $\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{B}_1$ $\mathbf{B}_2$ 包含自回归系数。

$\mathbf{y}_2$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ $\mathbf{A}_2 = \mathbf{0}$ $\mathbf{y}_1$ 是块外生的。为了讨论在此约束下估计系统，我们首先注意可以计算和最大化无限制似然的另一种形式。

An Alternative Expression for the Likelihood Function

第 11.1 节使用预测误差分解计算 VAR 的对数似然函数：

\begin{matrix} (11.3.3) & L (θ) = \sum_{t = 1}^{T} \log f_{Y_{t} ∣ X_{t}} (y_{t} ∣ x_{t}; θ), \end{matrix}

$\mathbf{y}_t' = (\mathbf{y}_{1t}', \mathbf{y}_{2t}')$ $\mathbf{x}_t' = (\mathbf{y}_{t-1}', \mathbf{y}_{t-2}', \ldots, \mathbf{y}_{t-p}')$ ，且

\begin{aligned} (11.3.4) & \log f_{Y_{t} ∣ X_{t}} (y_{t} ∣ x_{t}; θ) & = - \frac{n_{1} + n_{2}}{2} \log (2 π) - \frac{1}{2} \log | \begin{array}{c} Ω_{11} & Ω_{12} \\ Ω_{21} & Ω_{22} \end{array} | \\ - \frac{1}{2} [(y_{1 t} - c_{1} - A_{1}^{'} x_{1 t} - A_{2}^{'} x_{2 t})^{'} (y_{2 t} - c_{2} - B_{1}^{'} x_{1 t} - B_{2}^{'} x_{2 t})^{'}] \\ \times {[\begin{array}{c} Ω_{11} & Ω_{12} \\ Ω_{21} & Ω_{22} \end{array}]}^{- 1} [\begin{array}{c} y_{1 t} - c_{1} - A_{1}^{'} x_{1 t} - A_{2}^{'} x_{2 t} \\ y_{2 t} - c_{2} - B_{1}^{'} x_{1 t} - B_{2}^{'} x_{2 t} \end{array}] . \end{aligned}

$\mathbf{y}_{1t}$ $\mathbf{y}_{1t}$ $\mathbf{y}_{2t}$ 的条件密度的乘积：

\begin{matrix} (11.3.5) & f_{Y_{t} ∣ X_{t}} (y_{t} ∣ x_{t}; θ) = f_{Y_{1 t} ∣ X_{t}} (y_{1 t} ∣ x_{t}; θ) \cdot f_{Y_{2 t} ∣ Y_{1 t}, X_{t}} (y_{2 t} ∣ y_{1 t}, x_{t}; θ) . \end{matrix}

$\mathbf{x}_t$ $\mathbf{y}_1$ 的密度为

\begin{aligned} (11.3.6) & f_{Y_{1 t} ∣ X_{t}} (y_{1 t} ∣ x_{t}; θ) & = (2 π)^{- n_{1} / 2} | Ω_{11} |^{- 1 / 2} \\ \times \exp [- \frac{1}{2} (y_{1 t} - c_{1} - A_{1}^{'} x_{1 t} - A_{2}^{'} x_{2 t})^{'} Ω_{11}^{- 1} (y_{1 t} - c_{1} - A_{1}^{'} x_{1 t} - A_{2}^{'} x_{2 t})], \end{aligned}

$\mathbf{y}_{1t}$ $\mathbf{x}_t$ $\mathbf{y}_2$ 的条件密度也是高斯的：

\begin{aligned} (11.3.7) & f_{Y_{2 t} ∣ Y_{1 t}, X_{t}} (y_{2 t} ∣ y_{1 t}, x_{t}; θ) & = (2 π)^{- n_{2} / 2} | H |^{- 1 / 2} \\ \times \exp [- \frac{1}{2} (y_{2 t} - m_{2 t})^{'} H^{- 1} (y_{2 t} - m_{2 t})] . \end{aligned}

此条件分布的参数可以使用第 4.6 节的结果计算。条件方差由方程 [4.6.6] 给出：

H = Ω_{22} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} Ω_{12};

$(\mathbf{m}_{2t})$ 可以从 [4.6.5] 计算：

\begin{matrix} (11.3.8) & m_{2 t} = E (y_{2 t} ∣ x_{t}) + Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} [y_{1 t} - E (y_{1 t} ∣ x_{t})] . \end{matrix}

注意从 [11.3.1] 有

E (y_{1 t} ∣ x_{t}) = c_{1} + A_{1}^{'} x_{1 t} + A_{2}^{'} x_{2 t},

而从 [11.3.2] 有

E (y_{2 t} ∣ x_{t}) = c_{2} + B_{1}^{'} x_{1 t} + B_{2}^{'} x_{2 t} .

将这些表达式代入 [11.3.8]：

\begin{aligned} (11.3.9) & m_{2 t} & = (c_{2} + B_{1}^{'} x_{1 t} + B_{2}^{'} x_{2 t}) + Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} [y_{1 t} - (c_{1} + A_{1}^{'} x_{1 t} + A_{2}^{'} x_{2 t})] \\ = d + D_{0}^{'} y_{1 t} + D_{1}^{'} x_{1 t} + D_{2}^{'} x_{2 t}, \end{aligned}

其中

\begin{aligned} (11.3.10) & d & = c_{2} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} c_{1} \\ (11.3.11) & D_{0}^{'} & = Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} \\ (11.3.12) & D_{1}^{'} & = B_{1}^{'} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} A_{1}^{'} \\ (11.3.13) & D_{2}^{'} & = B_{2}^{'} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} A_{2}^{'} . \end{aligned}

因此，[11.3.4] 中联合密度的对数可以等价地计算为边际密度 [11.3.6] 和对数条件密度 [11.3.7] 的对数之和：

\begin{matrix} (11.3.14) & \log f_{Y_{t} ∣ X_{t}} (y_{t} ∣ x_{t}; θ) = ℓ_{1 t} + ℓ_{2 t}, \end{matrix}

其中

\begin{aligned} (11.3.15) & ℓ_{1 t} & = - (n_{1} / 2) \log (2 π) - \frac{1}{2} \log | Ω_{11} | \\ - \frac{1}{2} [(y_{1 t} - c_{1} - A_{1}^{'} x_{1 t} - A_{2}^{'} x_{2 t})^{'} Ω_{11}^{- 1} (y_{1 t} - c_{1} - A_{1}^{'} x_{1 t} - A_{2}^{'} x_{2 t})] \\ (11.3.16) & ℓ_{2 t} & = - (n_{2} / 2) \log (2 π) - \frac{1}{2} \log | H | \\ - \frac{1}{2} [(y_{2 t} - d - D_{0}^{'} y_{1 t} - D_{1}^{'} x_{1 t} - D_{2}^{'} x_{2 t})^{'} H^{- 1} (y_{2 t} - d - D_{0}^{'} y_{1 t} - D_{1}^{'} x_{1 t} - D_{2}^{'} x_{2 t})] . \end{aligned}

样本对数似然则可以表示为

\begin{matrix} (11.3.17) & L (θ) = \sum_{t = 1}^{T} ℓ_{1 t} + \sum_{t = 1}^{T} ℓ_{2 t} . \end{matrix}

$(\mathbf{c}_1, \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{c}_2, \mathbf{B}_1, \mathbf{B}_2, \boldsymbol{\Omega}_{11}, \boldsymbol{\Omega}_{12}, \boldsymbol{\Omega}_{22})$ $(\mathbf{c}_1, \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{d}, \mathbf{D}_0, \mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2, \boldsymbol{\Omega}_{11}, \mathbf{H})$ 最大化 [11.3.17] 将达到相同的似然值。

$(\mathbf{c}_1, \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2)$ $\sum_{t=1}^{T} \ell_{1t}$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ $\boldsymbol{\Omega}_{11}$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11} = (1/T) \sum_{t=1}^{T} \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{1t} \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{1t}'$ $(\mathbf{d}, \mathbf{D}_0, \mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2)$ $\sum_{t=1}^{T} \ell_{2t}$ $\mathbf{y}_{2t}$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ 的滞后值进行 OLS 回归获得：

\begin{matrix} (11.3.18) & y_{2 t} = d + D_{0}^{'} y_{1 t} + D_{1}^{'} x_{1 t} + D_{2}^{'} x_{2 t} + v_{2 t} . \end{matrix}

$\mathbf{H}$ $\widehat{\mathbf{H}} = (1/T) \sum_{t=1}^{T} \widehat{\mathbf{v}}_{2t} \widehat{\mathbf{v}}_{2t}'$ 。

$\mathbf{v}_{2t}$ $\mathbf{v}_{2t} = \mathbf{y}_{2t} - E(\mathbf{y}_{2t} \mid \mathbf{y}_{1t}, \mathbf{x}_t)$ $\mathbf{y}_{1t}$ $\mathbf{x}_t$ $\boldsymbol{\varepsilon}_{1t}$ $\mathbf{y}_{1t}$ $\mathbf{x}_t$ 的线性函数。类似地，与第二组回归相关的 OLS 样本残差

{\hat{v}}_{2 t} \equiv y_{2 t} - \hat{d} - {\hat{D}}_{0}^{'} y_{1 t} - {\hat{D}}_{1}^{'} x_{1 t} - {\hat{D}}_{2}^{'} x_{2 t},

$\mathbf{y}_{1t}$ $\mathbf{x}_t$ $\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{1t}$ $\widehat{\mathbf{v}}_{2t}$ $\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{1t}$ 正交。

Maximum Likelihood Estimation of a VAR Characterized by Block Exogeneity

$\mathbf{A}_2 = \mathbf{0}$ $(\mathbf{d}, \mathbf{D}_0, \mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2, \mathbf{H})$ $(\mathbf{c}_2, \mathbf{B}_1, \mathbf{B}_2, \boldsymbol{\Omega}_{21}, \boldsymbol{\Omega}_{22})$ $(\mathbf{c}_1, \mathbf{A}_1, \boldsymbol{\Omega}_{11}, \mathbf{d}, \mathbf{D}_0, \mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2, \mathbf{H})$ $\mathbf{A}_2$ $\ell_{2t}$ $\mathbf{c}_1, \mathbf{A}_1$ $\boldsymbol{\Omega}_{11}$ 的全信息最大似然估计可以仅基于 [11.3.1] 的受限版本回归：

\begin{matrix} (11.3.19) & y_{1 t} = c_{1} + A_{1}^{'} x_{1 t} + ε_{1 t} . \end{matrix}

$\widehat{\mathbf{c}}_1(0), \widehat{\mathbf{A}}_1(0), \widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11}(0)$ $(\mathbf{d}, \mathbf{D}_0, \mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2, \mathbf{H})$ $(\widehat{\mathbf{d}}, \widehat{\mathbf{D}}_0, \widehat{\mathbf{D}}_1, \widehat{\mathbf{D}}_2, \widehat{\mathbf{H}})$ 。

对数似然函数达到的最大值可以通过将 [11.1.32] 应用于 [11.3.14] 找到：

\begin{aligned} (11.3.20) & L [\hat{θ} (0)] & = \sum_{t = 1}^{T} ℓ_{1 t} [{\hat{c}}_{1} (0), {\hat{A}}_{1} (0), {\hat{Ω}}_{11} (0)] + \sum_{t = 1}^{T} ℓ_{2 t} [\hat{d}, {\hat{D}}_{0}, {\hat{D}}_{1}, {\hat{D}}_{2}, \hat{H}] \\ = [- (T n_{1} / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | {\hat{Ω}}_{11}^{- 1} (0) | - (T n_{1} / 2)] \\ + [- (T n_{2} / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | {\hat{H}}^{- 1} | - (T n_{2} / 2)] . \end{aligned}

$\mathbf{A}_2$ 上无约束估计时，对数似然达到的值为

\begin{aligned} (11.3.21) & L (\hat{θ}) & = \sum_{t = 1}^{T} ℓ_{1 t} [{\hat{c}}_{1}, {\hat{A}}_{1}, {\hat{A}}_{2}, {\hat{Ω}}_{11}] + \sum_{t = 1}^{T} ℓ_{2 t} [\hat{d}, {\hat{D}}_{0}, {\hat{D}}_{1}, {\hat{D}}_{2}, \hat{H}] \\ = [- (T n_{1} / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | {\hat{Ω}}_{11}^{- 1} | - (T n_{1} / 2)] \\ + [- (T n_{2} / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | {\hat{H}}^{- 1} | - (T n_{2} / 2)], \end{aligned}

$(\widehat{\mathbf{c}}_1, \widehat{\mathbf{A}}_1, \widehat{\mathbf{A}}_2, \widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11})$ $\mathbf{A}_2 = \mathbf{0}$ 的似然比检验可以基于

\begin{aligned} (11.3.22) & 2 {L (\hat{θ}) - L [\hat{θ} (0)]} & = T {\log | {\hat{Ω}}_{11}^{- 1} | - \log | {\hat{Ω}}_{11}^{- 1} (0) |} \\ = T {\log | {\hat{Ω}}_{11} (0) | - \log | {\hat{Ω}}_{11} |} . \end{aligned}

$\chi^2$ $\mathbf{A}_2$ $(n_1 \times n_2 p)$ $n_1 n_2 p$ 。

$\mathbf{y}_1$ $n_1$ $\mathbf{y}_2$ $n_2$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_1$ $p$ $\mathbf{y}_2$ $p$ $\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{1t}$ $t$ $(n_1 \times 1)$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11}$ $(\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11} = (1/T) \sum_{t=1}^{T} \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{1t} \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{1t}')$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_1$ $p$ $\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{1t}(0)$ $(n_1 \times 1)$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11}(0)$ 它们的方差-协方差矩阵。如果

T {\log | {\hat{Ω}}_{11} (0) | - \log | {\hat{Ω}}_{11} |}

$\chi^2(n_1 n_2 p)$ $\mathbf{y}_2$ $\mathbf{y}_1$ 。

$(\mathbf{c}_1, \mathbf{A}_1, \boldsymbol{\Omega}_{11}, \mathbf{d}, \mathbf{D}_0, \mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2, \mathbf{H})$ $(\mathbf{c}_1, \mathbf{A}_1, \boldsymbol{\Omega}_{11}, \mathbf{c}_2, \mathbf{B}_1, \mathbf{B}_2, \boldsymbol{\Omega}_{21}, \boldsymbol{\Omega}_{22})$ $(\mathbf{c}_1, \mathbf{A}_1, \boldsymbol{\Omega}_{11})$ ，MLE 继续由 [11.3.19] 的 OLS 估计给出。第二组的参数可以通过反转方程 [11.3.10] 到 [11.3.13] 从 OLS 估计找到：

\begin{aligned} (11.3.23) & {\hat{Ω}}_{21} (0) & = {\hat{D}}_{0}^{'} {\hat{Ω}}_{11} (0) \\ (11.3.24) & {\hat{c}}_{2} (0) & = \hat{d} + {\hat{Ω}}_{21} (0) [{\hat{Ω}}_{11} (0)]^{- 1} {\hat{c}}_{1} (0) \\ (11.3.25) & [{\hat{B}}_{1} (0)]^{'} & = {\hat{D}}_{1}^{'} + {\hat{Ω}}_{21} (0) [{\hat{Ω}}_{11} (0)]^{- 1} [{\hat{A}}_{1} (0)]^{'} \\ (11.3.26) & [{\hat{B}}_{2} (0)]^{'} & = {\hat{D}}_{2}^{'} \\ (11.3.27) & {\hat{Ω}}_{22} (0) & = \hat{H} + {\hat{Ω}}_{21} (0) [{\hat{Ω}}_{11} (0)]^{- 1} {\hat{Ω}}_{12} (0) . \end{aligned}

因此，[11.3.2] 的原始参数化的最大似然估计通过结合 [11.3.19] 和 [11.3.18] 的 OLS 估计从这些方程找到。

Geweke's Measure of Linear Dependence

$p$ $(n_1 \times 1)$ $\mathbf{y}_{1t}$ $(n_2 \times 1)$ $\mathbf{y}_{2t}$ 之间的关系，其中新息项的方差-协方差矩阵由下式给出：

\begin{matrix} E [\begin{matrix} ε_{1 t} ε_{1 t}^{'} & ε_{1 t} ε_{2 t}^{'} \\ ε_{2 t} ε_{1 t}^{'} & ε_{2 t} ε_{2 t}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Ω_{11} & Ω_{12} \\ Ω_{21} & Ω_{22} \end{matrix}] . \end{matrix}

$\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ 是块外生的零假设，我们建议计算 [11.3.22] 中的统计量：

\begin{matrix} (11.3.28) & T {\log | {\hat{Ω}}_{11} (0) | - \log | {\hat{Ω}}_{11} |} \approx χ^{2} (n_{1} n_{2} p), \end{matrix}

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11}$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11}(0)$ $\mathbf{y}_2$ $\mathbf{A}_2 = \mathbf{0}$ ）时 [11.3.1] 的 OLS 估计的残差的方差-协方差矩阵。

$\mathbf{y}_2$ $\mathbf{y}_1$ 是块外生的，我们计算

\begin{matrix} (11.3.29) & T {\log | {\hat{Ω}}_{22} (0) | - \log | {\hat{Ω}}_{22} |} \approx χ^{2} (n_{2} n_{1} p), \end{matrix}

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{22}$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{22}(0)$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{B}_1 = \mathbf{0}$ ）时 [11.3.2] 的 OLS 估计的残差的方差-协方差矩阵。

$\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ $\mathbf{A}_2 = \mathbf{0}, \mathbf{B}_1 = \mathbf{0}$ $\boldsymbol{\Omega}_{21} = \mathbf{0}$ 。对于此最受限的规范，对数似然变为

\begin{aligned} L (θ) & = \sum_{t = 1}^{T} {- (n_{1} / 2) \log (2 π) - (1 / 2) \log | Ω_{11} | - (1 / 2) (y_{1 t} - c_{1} - A_{1}^{'} x_{1 t})^{'} Ω_{11}^{- 1} (y_{1 t} - c_{1} - A_{1}^{'} x_{1 t})} \\ + \sum_{t = 1}^{T} {- (n_{2} / 2) \log (2 π) - (1 / 2) \log | Ω_{22} | - (1 / 2) (y_{2 t} - c_{2} - B_{2}^{'} x_{2 t})^{'} Ω_{22}^{- 1} (y_{2 t} - c_{2} - B_{2}^{'} x_{2 t})} \end{aligned}

最大化的值为

\begin{aligned} L [\hat{θ} (0)] & = {- (T n_{1} / 2) \log (2 π) - (T / 2) \log | {\hat{Ω}}_{11} (0) | - (T n_{1} / 2)} \\ + {- (T n_{2} / 2) \log (2 π) - (T / 2) \log | {\hat{Ω}}_{22} (0) | - (T n_{2} / 2)} . \end{aligned}

$\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ 之间完全没有关系的零假设的似然比检验由下式给出：

\begin{aligned} (11.3.30) & 2 {L (\hat{θ}) - L [\hat{θ} (0)]} & = T {\log | {\hat{Ω}}_{11} (0) | + \log | {\hat{Ω}}_{22} (0) | - \log | \begin{array}{c} {\hat{Ω}}_{11} & {\hat{Ω}}_{12} \\ {\hat{Ω}}_{21} & {\hat{Ω}}_{22} \end{array} |}, \end{aligned}

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{12}$ $\mathbf{A}_2 = \mathbf{0}$ $(n_1 n_2 p)$ $\mathbf{B}_1 = \mathbf{0}$ $(n_2 n_1 p)$ $\boldsymbol{\Omega}_{21} = \mathbf{0}$ $(n_2 n_1)$ $(n_1 n_2) \times (2p + 1)$ $\chi^2$ 分布。

$(1/T)$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ 之间线性依赖程度的度量。注意 [11.3.30] 可以表示为三项之和：

\begin{aligned} (11.3.31) & T {\log | {\hat{Ω}}_{11} (0) | + \log | {\hat{Ω}}_{22} (0) | - \log | \begin{array}{c} {\hat{Ω}}_{11} & {\hat{Ω}}_{12} \\ {\hat{Ω}}_{21} & {\hat{Ω}}_{22} \end{array} |} & = T {\log | {\hat{Ω}}_{11} (0) | - \log | {\hat{Ω}}_{11} |} \\ + T {\log | {\hat{Ω}}_{22} (0) | - \log | {\hat{Ω}}_{22} |} \\ + T {\log | {\hat{Ω}}_{11} | + \log | {\hat{Ω}}_{22} | - \log | \begin{array}{c} {\hat{Ω}}_{11} & {\hat{Ω}}_{12} \\ {\hat{Ω}}_{21} & {\hat{Ω}}_{22} \end{array} |} . \end{aligned}

$T\{\log |\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11}(0)| - \log |\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{11}|\}$ $\mathbf{y}_2$ $\mathbf{y}_1$ $\chi^2(n_1 n_2 p)$ $T\{\log |\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{22}(0)| - \log |\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_{22}|\}$ $\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ $\chi^2(n_2 n_1 p)$ 统计量。第三项

\begin{matrix} T {\log | {\hat{Ω}}_{11} | + \log | {\hat{Ω}}_{22} | - \log | \begin{matrix} {\hat{Ω}}_{11} & {\hat{Ω}}_{12} \\ {\hat{Ω}}_{21} & {\hat{Ω}}_{22} \end{matrix} |}, \end{matrix}

$\boldsymbol{\Omega}_{21} = \mathbf{0}$ $\mathbf{A}_2$ $\mathbf{B}_1$ $\chi^2(n_1 n_2)$ 分布。

$\mathbf{y}_1$ $\mathbf{y}_2$ 之间任何线性关系的强度并识别该关系的来源。Geweke 展示了如何按频率进一步分解这些度量。

Maximum Likelihood Estimation Under General Coefficient Constraints

我们现在讨论向量自回归的最大似然估计，其中存在不能像上一个示例那样以块递归形式表达的约束。受一般排除限制的 VAR 可以视为"看似无关回归"系统，如 Zellner (1962) 最初分析的那样。

$\mathbf{x}_{1t}$ $(k_1 \times 1)$ 向量：

y_{1 t} = x_{1 t}^{'} β_{1} + ε_{1 t} .

$\mathbf{x}_{2t}$ $(k_2 \times 1)$ $\mathbf{x}_{nt}$ $(k_n \times 1)$ 向量。因此，VAR 由方程组组成

\begin{aligned} y_{1 t} & = x_{1 t}^{'} β_{1} + ε_{1 t} \\ (11.3.32) & y_{2 t} & = x_{2 t}^{'} β_{2} + ε_{2 t} \\ ⋮ \\ y_{n t} & = x_{n t}^{'} β_{n} + ε_{n t} . \end{aligned}

$k = k_1 + k_2 + \cdots + k_n$ $(k \times 1)$ 向量中：

\begin{matrix} β = [\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix}] . \end{matrix}

那么 [11.3.32] 中的方程组可以写成向量形式为

\begin{matrix} (11.3.33) & y_{t} = X_{t}^{'} β + ε_{t}, \end{matrix}

$\boldsymbol{\mathcal{X}}_t'$ $(n \times k)$ 矩阵：

\begin{matrix} X_{t}^{'} \equiv [\begin{matrix} x_{1 t}^{'} & 0^{'} & \dots & 0^{'} \\ 0^{'} & x_{2 t}^{'} & \dots & 0^{'} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0^{'} & 0^{'} & \dots & x_{n t}^{'} \end{matrix}] . \end{matrix}

$\boldsymbol{\beta}$ $\boldsymbol{\Omega}$ 以最大化对数似然函数

\begin{aligned} (11.3.34) & L (β, Ω) & = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | Ω^{- 1} | \\ - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} (y_{t} - X_{t}^{'} β)^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - X_{t}^{'} β) . \end{aligned}

$\boldsymbol{\beta}$ 以最小化

\begin{matrix} (11.3.35) & \sum_{t = 1}^{T} (y_{t} - X_{t}^{'} β)^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - X_{t}^{'} β) . \end{matrix}

$\mathbf{L}$ $\mathbf{L}' \mathbf{L} = \boldsymbol{\Omega}^{-1}$ 的下三角矩阵（例如，通过 Cholesky 分解）。则 [11.3.35] 可以写成

\begin{aligned} (11.3.36) & \sum_{t = 1}^{T} (y_{t} - X_{t}^{'} β)^{'} Ω^{- 1} (y_{t} - X_{t}^{'} β) & = \sum_{t = 1}^{T} (L y_{t} - L X_{t}^{'} β)^{'} (L y_{t} - L X_{t}^{'} β) \\ = \sum_{t = 1}^{T} ({\tilde{y}}_{t} - {\tilde{X}}_{t}^{'} β)^{'} ({\tilde{y}}_{t} - {\tilde{X}}_{t}^{'} β), \end{aligned}

$\widetilde{\mathbf{y}}_t \equiv \mathbf{L} \mathbf{y}_t$ 和

\begin{matrix} {\tilde{X}}_{t}^{'} \equiv L X_{t}^{'} \equiv [\begin{matrix} {\tilde{x}}_{1 t}^{'} \\ {\tilde{x}}_{2 t}^{'} \\ ⋮ \\ {\tilde{x}}_{n t}^{'} \end{matrix}] . \end{matrix}

但 [11.3.36] 简单地是

\sum_{t = 1}^{T} [({\tilde{y}}_{1 t} - {\tilde{x}}_{1 t}^{'} β)^{2} + ({\tilde{y}}_{2 t} - {\tilde{x}}_{2 t}^{'} β)^{2} + \dots + ({\tilde{y}}_{n t} - {\tilde{x}}_{n t}^{'} β)^{2}],

$\widetilde{y}_{it}$ $\widetilde{\mathbf{x}}_{it}$ $(i = 1, 2, \ldots, n)$ 合并为一个大回归。因此，最大似然估计由下式给出：

\begin{matrix} (11.3.37) & \hat{β} = {\sum_{t = 1}^{T} [{\tilde{x}}_{1 t} {\tilde{x}}_{1 t}^{'} + {\tilde{x}}_{2 t} {\tilde{x}}_{2 t}^{'} + \dots + {\tilde{x}}_{n t} {\tilde{x}}_{n t}^{'}]}^{- 1} {\sum_{t = 1}^{T} [{\tilde{x}}_{1 t} {\tilde{y}}_{1 t} + {\tilde{x}}_{2 t} {\tilde{y}}_{2 t} + \dots + {\tilde{x}}_{n t} {\tilde{y}}_{n t}]} . \end{matrix}

$\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ 的渐近方差-协方差矩阵可以从下式计算：

E (\hat{β} - β) (\hat{β} - β)^{'} ≅ {\sum_{t = 1}^{T} [{\tilde{x}}_{1 t} {\tilde{x}}_{1 t}^{'} + {\tilde{x}}_{2 t} {\tilde{x}}_{2 t}^{'} + \dots + {\tilde{x}}_{n t} {\tilde{x}}_{n t}^{'}]}^{- 1} .

$\widetilde{y}_{it}$ $\widetilde{\mathbf{x}}_{it}$ $\mathbf{L}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\boldsymbol{\beta}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $y_{it}$ $\mathbf{x}_{it}$ $n$ $\widehat{\boldsymbol{\beta}}(0) = (\mathbf{b}_1', \mathbf{b}_2', \ldots, \mathbf{b}_n')'$ 。使用此形成方差矩阵的初始估计：

\hat{Ω} (0) = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} [y_{t} - X_{t}^{'} \hat{β} (0)] [y_{t} - X_{t}^{'} \hat{β} (0)]^{'} .

$\widehat{\mathbf{L}}(0)$ $[\widehat{\mathbf{L}}(0)'] \widehat{\mathbf{L}}(0) = [\widehat{\boldsymbol{\Omega}}(0)]^{-1}$ $\widetilde{\mathbf{y}}_t(0) = \widehat{\mathbf{L}}(0) \mathbf{y}_t$ $\widetilde{\boldsymbol{\mathcal{X}}}_t'(0) = \widehat{\mathbf{L}}(0) \boldsymbol{\mathcal{X}}_t'$ $\widetilde{y}_{it}(0)$ $\widetilde{\mathbf{x}}_{it}(0)$ $i = 1, 2, \ldots, n$ $\widehat{\boldsymbol{\beta}}(1)$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}(1) = (1/T) \sum_{t=1}^{T} [\mathbf{y}_t - \boldsymbol{\mathcal{X}}_t' \widehat{\boldsymbol{\beta}}(1)] [\mathbf{y}_t - \boldsymbol{\mathcal{X}}_t' \widehat{\boldsymbol{\beta}}(1)]'$ $(\widehat{\boldsymbol{\beta}}, \widehat{\boldsymbol{\Omega}})$ ，尽管仅一次迭代后的估计与最终 MLE 具有相同的渐近分布（参见 Magnus, 1978）。

[11.3.37] 中 MLE 的另一种表达式有时被使用。注意

\begin{aligned} [{\tilde{x}}_{1 t} {\tilde{x}}_{1 t}^{'} + {\tilde{x}}_{2 t} {\tilde{x}}_{2 t}^{'} + \dots + {\tilde{x}}_{n t} {\tilde{x}}_{n t}^{'}] & = [\begin{array}{c} {\tilde{x}}_{1 t} & {\tilde{x}}_{2 t} & \dots & {\tilde{x}}_{n t} \end{array}] [\begin{array}{c} {\tilde{x}}_{1 t}^{'} \\ {\tilde{x}}_{2 t}^{'} \\ ⋮ \\ {\tilde{x}}_{n t}^{'} \end{array}] \\ = X_{t} L^{'} L X_{t}^{'} \\ (11.3.38) & = [\begin{array}{c} x_{1 t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & x_{2 t} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & x_{n t} \end{array}] [\begin{array}{c} σ^{11} & σ^{12} & \dots & σ^{1 n} \\ σ^{21} & σ^{22} & \dots & σ^{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ σ^{n 1} & σ^{n 2} & \dots & σ^{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1 t}^{'} & 0^{'} & \dots & 0^{'} \\ 0^{'} & x_{2 t}^{'} & \dots & 0^{'} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0^{'} & 0^{'} & \dots & x_{n t}^{'} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} σ^{11} x_{1 t} x_{1 t}^{'} & σ^{12} x_{1 t} x_{2 t}^{'} & \dots & σ^{1 n} x_{1 t} x_{n t}^{'} \\ σ^{21} x_{2 t} x_{1 t}^{'} & σ^{22} x_{2 t} x_{2 t}^{'} & \dots & σ^{2 n} x_{2 t} x_{n t}^{'} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ σ^{n 1} x_{n t} x_{1 t}^{'} & σ^{n 2} x_{n t} x_{2 t}^{'} & \dots & σ^{n n} x_{n t} x_{n t}^{'} \end{array}], \end{aligned}

$\sigma^{ij}$ $\boldsymbol{\Omega}^{-1}$ $i$ $j$ 列元素。类似地，

\begin{aligned} [{\tilde{x}}_{1 t} {\tilde{y}}_{1 t} + {\tilde{x}}_{2 t} {\tilde{y}}_{2 t} + \dots + {\tilde{x}}_{n t} {\tilde{y}}_{n t}] & = [\begin{array}{c} {\tilde{x}}_{1 t} & {\tilde{x}}_{2 t} & \dots & {\tilde{x}}_{n t} \end{array}] [\begin{array}{c} {\tilde{y}}_{1 t} \\ {\tilde{y}}_{2 t} \\ ⋮ \\ {\tilde{y}}_{n t} \end{array}] \\ = X_{t} L^{'} L y_{t} \\ (11.3.39) & = [\begin{array}{c} x_{1 t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & x_{2 t} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & x_{n t} \end{array}] [\begin{array}{c} σ^{11} & σ^{12} & \dots & σ^{1 n} \\ σ^{21} & σ^{22} & \dots & σ^{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ σ^{n 1} & σ^{n 2} & \dots & σ^{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} y_{1 t} \\ y_{2 t} \\ ⋮ \\ y_{n t} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} σ^{11} x_{1 t} y_{1 t} + σ^{12} x_{1 t} y_{2 t} + \dots + σ^{1 n} x_{1 t} y_{n t} \\ σ^{21} x_{2 t} y_{1 t} + σ^{22} x_{2 t} y_{2 t} + \dots + σ^{2 n} x_{2 t} y_{n t} \\ ⋮ \\ σ^{n 1} x_{n t} y_{1 t} + σ^{n 2} x_{n t} y_{2 t} + \dots + σ^{n n} x_{n t} y_{n t} \end{array}] . \end{aligned}

将 [11.3.38] 和 [11.3.39] 代入 [11.3.37]，MLE 满足

\begin{aligned} (11.3.40) & \hat{β} & = {[\begin{array}{c} σ^{11} \sum x_{1 t} x_{1 t}^{'} & σ^{12} \sum x_{1 t} x_{2 t}^{'} & \dots & σ^{1 n} \sum x_{1 t} x_{n t}^{'} \\ σ^{21} \sum x_{2 t} x_{1 t}^{'} & σ^{22} \sum x_{2 t} x_{2 t}^{'} & \dots & σ^{2 n} \sum x_{2 t} x_{n t}^{'} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ σ^{n 1} \sum x_{n t} x_{1 t}^{'} & σ^{n 2} \sum x_{n t} x_{2 t}^{'} & \dots & σ^{n n} \sum x_{n t} x_{n t}^{'} \end{array}]}^{- 1} \\ \times [\begin{array}{c} \sum (σ^{11} x_{1 t} y_{1 t} + σ^{12} x_{1 t} y_{2 t} + \dots + σ^{1 n} x_{1 t} y_{n t}) \\ \sum (σ^{21} x_{2 t} y_{1 t} + σ^{22} x_{2 t} y_{2 t} + \dots + σ^{2 n} x_{2 t} y_{n t}) \\ ⋮ \\ \sum (σ^{n 1} x_{n t} y_{1 t} + σ^{n 2} x_{n t} y_{2 t} + \dots + σ^{n n} x_{n t} y_{n t}) \end{array}], \end{aligned}

$\sum$ $t = 1, 2, \ldots, T$ 求和。

$\mathbf{x}_{1t} = \mathbf{x}_{2t} = \cdots = \mathbf{x}_{nt}$ ，可以将此结果视为 [11.3.40] 的特殊情况，因为此时 [11.3.40] 变为

\begin{aligned} \hat{β} & = [Ω^{- 1} \otimes (\sum x_{t} x_{t}^{'})]^{- 1} \sum [(Ω^{- 1} y_{t}) \otimes x_{t}] \\ = [Ω \otimes (\sum x_{t} x_{t}^{'})^{- 1}] \sum [(Ω^{- 1} y_{t}) \otimes x_{t}] \\ = [I_{n} \otimes (\sum x_{t} x_{t}^{'})^{- 1}] \sum [y_{t} \otimes x_{t}] \\ = [\begin{array}{c} (\sum x_{t} x_{t}^{'})^{- 1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & (\sum x_{t} x_{t}^{'})^{- 1} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & (\sum x_{t} x_{t}^{'})^{- 1} \end{array}] [\begin{array}{c} \sum y_{1 t} x_{t} \\ \sum y_{2 t} x_{t} \\ ⋮ \\ \sum y_{n t} x_{t} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}], \end{aligned}

如第 11.1 节所示。

11.4 The Impulse-Response Function

$MA(\infty)$ 形式：

\begin{matrix} (11.4.1) & y_{t} = μ + ε_{t} + Ψ_{1} ε_{t - 1} + Ψ_{2} ε_{t - 2} + \dots . \end{matrix}

$\boldsymbol{\Psi}_s$ 满足

\begin{matrix} (11.4.2) & \frac{\partial y_{t + s}}{\partial ε_{t}^{'}} = Ψ_{s}, \end{matrix}

$\boldsymbol{\Psi}_s$ $i$ $j$ $t$ $j$ $\varepsilon_{jt}$ $t+s$ $i$ $y_{i,t+s}$ ）的后果，并且保持所有其他日期所有其他创新项不变。

$\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\delta_1$ $\delta_2$ $n$ $\delta_n$ $\mathbf{y}_{t+s}$ 值的累积效应由下式给出：

\begin{matrix} (11.4.3) & Δ y_{t + s} = \frac{\partial y_{t + s}}{\partial ε_{1 t}} δ_{1} + \frac{\partial y_{t + s}}{\partial ε_{2 t}} δ_{2} + \dots + \frac{\partial y_{t + s}}{\partial ε_{n t}} δ_{n} = Ψ_{s} δ, \end{matrix}

$\boldsymbol{\delta} = (\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n)'$ 。

$\boldsymbol{\Psi}_s$ $\mathbf{y}_{t-1} = \mathbf{y}_{t-2} = \cdots = \mathbf{y}_{t-p} = \mathbf{0}$ $\varepsilon_{jt} = 1$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $t, t+1, t+2, \ldots$ $\mathbf{c}$ $\boldsymbol{\varepsilon}_{t+1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{t+2}, \ldots$ $t+s$ $\mathbf{y}_{t+s}$ $\boldsymbol{\Psi}_s$ $j$ $(j = 1, 2, \ldots, n)$ $\boldsymbol{\Psi}_s$ 的所有列。

$\boldsymbol{\Psi}_s$ $i$ $j$ 列元素

\begin{matrix} (11.4.4) & \frac{\partial y_{i, t + s}}{\partial ε_{j t}} \end{matrix}

$y_{i,t+s}$ $y_{jt}$ $t$ 或更早的变量不变。

$y_j$ $y_i$ 的因果效应吗？Granger 因果关系检验的讨论表明，我们应该对此类声明保持警惕。考虑以下问题。设

x_{t - 1}^{'} = (y_{t - 1}^{'}, y_{t - 2}^{'}, \dots, y_{t - p}^{'})

$t-1$ $t$ $y_{1t}$ $\varepsilon_{1t}$ $y_{i,t+s}$ 的预测？换句话说，什么是

\begin{matrix} (11.4.5) & \frac{\partial \hat{E} (y_{i, t + s} ∣ y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{1 t}} ? \end{matrix}

$E(\boldsymbol{\varepsilon}_t \boldsymbol{\varepsilon}_t') = \boldsymbol{\Omega}$ $j = 1$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\varepsilon_{1t}$ $\varepsilon_{2t}, \ldots, \varepsilon_{nt}$ $y_{i,t+s}$ 的值有进一步的含义，为了总结这些含义，我们需要计算向量

\frac{\partial \hat{E} (ε_{t} ∣ y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{1 t}}

$\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $y_{i,t+s}$ 值的影响。

$y_{2t}$ $y_{1t}$ 中包含的信息。因此，我们计算

\begin{matrix} (11.4.6) & \frac{\partial \hat{E} (y_{i, t + s} ∣ y_{2 t}, y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{2 t}} . \end{matrix}

类似地，对于指定为数字 3 的变量，我们计算

\begin{matrix} (11.4.7) & \frac{\partial \hat{E} (y_{i, t + s} ∣ y_{3 t}, y_{2 t}, y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{3 t}}, \end{matrix}

$n$ ，

\begin{matrix} (11.4.8) & \frac{\partial \hat{E} (y_{i, t + s} ∣ y_{n t}, y_{n - 1, t}, \dots, y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{n t}} . \end{matrix}

$\varepsilon_{nt}$ $\varepsilon_{1t}, \ldots, \varepsilon_{n-1,t}$ $\boldsymbol{\Psi}_s$ $i$ $n$ 列元素给出。

$(\boldsymbol{\Psi}_s)$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $(\boldsymbol{\Omega})$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{D}$ ，主对角线上为正项，使得

\begin{matrix} (11.4.9) & Ω = A D A^{'} . \end{matrix}

$\mathbf{A}$ $(n \times 1)$ $\mathbf{u}_t$ ：

\begin{matrix} (11.4.10) & u_{t} \equiv A^{- 1} ε_{t} . \end{matrix}

$\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $y$ $\mathbf{u}_t$ $y$ $\mathbf{u}_t$ 的元素进一步彼此不相关：

\begin{aligned} (11.4.11) & E (u_{t} u_{t}^{'}) & = [A^{- 1}] E (ε_{t} ε_{t}^{'}) [A^{- 1}]^{'} \\ = [A^{- 1}] Ω [A^{'}]^{- 1} \\ = [A^{- 1}] A D A^{'} [A^{'}]^{- 1} \\ = D . \end{aligned}

$\mathbf{D}$ $\mathbf{u}_t$ $\mathbf{D}$ $(j, j)$ $u_{jt}$ 的方差。

$\mathbf{A}$ ，结果是

\begin{matrix} (11.4.12) & A u_{t} = ε_{t} . \end{matrix}

显式写出 [11.4.12] 表示的方程：

\begin{matrix} (11.4.13) & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \dots & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1 t} \\ u_{2 t} \\ u_{3 t} \\ ⋮ \\ u_{n t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ε_{1 t} \\ ε_{2 t} \\ ε_{3 t} \\ ⋮ \\ ε_{n t} \end{matrix}] . \end{matrix}

$u_{1t}$ $\varepsilon_{1t}$ $j$ 行说明

u_{j t} = ε_{j t} - a_{j 1} u_{1 t} - a_{j 2} u_{2 t} - \dots - a_{j, j - 1} u_{j - 1, t} .

$u_{jt}$ $u_{1t}, u_{2t}, \ldots, u_{j-1,t}$ $u_{jt}$ $\varepsilon_{jt}$ $u_{1t}, u_{2t}, \ldots, u_{j-1,t}$ 上的残差：

\begin{matrix} (11.4.14) & \hat{E} (ε_{j t} ∣ u_{1 t}, u_{2 t}, \dots, u_{j - 1, t}) = a_{j 1} u_{1 t} + a_{j 2} u_{2 t} + \dots + a_{j, j - 1} u_{j - 1, t} . \end{matrix}

$u_{jt}$ $\varepsilon_{jt}$ $(u_{1t}, u_{2t}, \ldots, u_{j-1,t})$ $u_{1t}$ $\varepsilon_{jt}$ $u_{1t}$ $u_{1t}$ 的系数相同：

\begin{matrix} (11.4.15) & \hat{E} (ε_{j t} ∣ u_{1 t}) = a_{j 1} u_{1 t} . \end{matrix}

$\varepsilon_{1t} = u_{1t}$ $\varepsilon_{1t}$ $\varepsilon_{jt}$ 的预测，修正量为

\begin{matrix} (11.4.16) & \frac{\partial \hat{E} (ε_{j t} ∣ ε_{1 t})}{\partial ε_{1 t}} = \frac{\partial \hat{E} (ε_{j t} ∣ u_{1 t})}{\partial u_{1 t}} = a_{j 1} . \end{matrix}

$\varepsilon_{1t}$ $y_{1t} - \widehat{E}(y_{1t} \mid \mathbf{x}_{t-1})$ $\varepsilon_{jt}$ $y_{jt} - \widehat{E}(y_{jt} \mid \mathbf{x}_{t-1})$ $y_{jt}$ $y_{1t}$ $\mathbf{x}_{t-1}$ $y_{1t}$ $\varepsilon_{jt}$ $\varepsilon_{1t}$ $\varepsilon_{1t}$ 的系数相同。因此，

\begin{matrix} (11.4.17) & \frac{\partial \hat{E} (ε_{j t} ∣ y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{1 t}} = a_{j 1} . \end{matrix}

$j = 1, 2, \ldots, n$ 组合成向量：

\begin{matrix} (11.4.18) & \frac{\partial \hat{E} (ε_{t} ∣ y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{1 t}} = a_{1}, \end{matrix}

$\mathbf{a}_1$ $\mathbf{A}$ 的第一列：

\begin{matrix} a_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ a_{21} \\ a_{31} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{matrix}] . \end{matrix}

$y_{1t}$ $\mathbf{x}_{t-1}$ $\mathbf{y}_{t+s}$ 的影响由下式给出：

\frac{\partial \hat{E} (y_{t + s} ∣ y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{1 t}} = Ψ_{s} a_{1} .

$u_{2t}$ $y_{2t}$ $(y_{1t}, \mathbf{x}_{t-1})$ $\varepsilon_{1t}$ $y_{1t}$ $\mathbf{x}_{t-1}$ $j = 2, 3, \ldots, n$ $\varepsilon_{jt}$ 的估计，修正量为

\frac{\partial \hat{E} (ε_{j t} ∣ u_{2 t}, u_{1 t})}{\partial u_{2 t}} = a_{j 2} .

将此代入 [11.4.3]，我们得出结论：

\frac{\partial \hat{E} (y_{t + s} ∣ y_{2 t}, y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{2 t}} = Ψ_{s} a_{2},

其中

\begin{matrix} a_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ a_{32} \\ a_{42} \\ ⋮ \\ a_{n 2} \end{matrix}] . \end{matrix}

一般来说，

\begin{matrix} (11.4.19) & \frac{\partial \hat{E} (y_{t + s} ∣ y_{j t}, y_{j - 1, t}, \dots, y_{1 t}, x_{t - 1})}{\partial y_{j t}} = Ψ_{s} a_{j}, \end{matrix}

$\mathbf{a}_j$ $\mathbf{A}$ $j$ 列。

$\boldsymbol{\Psi}_s$ $\boldsymbol{\Omega}$ $T$ $\widehat{\boldsymbol{\Phi}}_1, \ldots, \widehat{\boldsymbol{\Phi}}_p$ $\widehat{\boldsymbol{\Psi}}_s$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}} = (1/T) \sum_{t=1}^{T} \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t'$ $\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t$ $i$ $t$ $i$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}} = \widehat{\mathbf{A}} \widehat{\mathbf{D}} \widehat{\mathbf{A}}'$ $\widehat{\mathbf{A}}$ $\widehat{\mathbf{D}}$ $\widehat{\mathbf{u}}_t = \widehat{\mathbf{A}}^{-1} \widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_t$ 的元素在构造上彼此正交：

(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{t} {\hat{u}}_{t}^{'} = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{A}}^{- 1} {\hat{ε}}_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'} ({\hat{A}}^{- 1})^{'} = {\hat{A}}^{- 1} \hat{Ω} ({\hat{A}}^{- 1})^{'} = \hat{D} .

[11.4.19] 的样本估计则为

\begin{matrix} (11.4.20) & {\hat{Ψ}}_{s} {\hat{a}}_{j}, \end{matrix}

$\widehat{\mathbf{a}}_j$ $\widehat{\mathbf{A}}$ $j$ 列。

$(\varepsilon_{1t}, \ldots, \varepsilon_{nt})$ $(u_{1t}, \ldots, u_{nt})$ $u_{jt}$ $\mathbf{y}_{t+s}$ $y_{jt}$ $\mathbf{y}_{t+s}$ $j$ 都不同。

$y_{1t}$ $y_{2t}$ ，在这种情况下我们将获得不同的动态乘数。通过选择变量的特定递归排序，我们提出一组关于 [11.4.5] 到 [11.4.8] 形式的预测问题。我们是否应该以这种方式正交化以及变量应该如何排序似乎取决于我们首先为什么要提出此类关于预测的问题。我们将在第 11.6 节更深入地探讨这个问题。

$\mathbf{D}$ $(j, j)$ $u_{jt}$ $\mathbf{D}^{1/2}$ $(j, j)$ $u_{jt}$ 的标准差。注意 [11.4.9] 可以写成

\begin{matrix} (11.4.21) & Ω = A D^{1 / 2} D^{1 / 2} A^{'} = P P^{'}, \end{matrix}

其中

P \equiv A D^{1 / 2} .

$\boldsymbol{\Omega}$ $\mathbf{A}$ $(n \times n)$ $\mathbf{P}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{P}$ $\mathbf{u}_t$ 的标准差。

$\mathbf{u}_t$ ，使用

v_{t} \equiv P^{- 1} ε_{t} = D^{- 1 / 2} A^{- 1} ε_{t} = D^{- 1 / 2} u_{t} .

$v_{jt}$ $u_{jt}$ $\sqrt{d_{jj}}$ $v_{jt}$ $u_{jt}$ 增加一个标准差相同。

$\partial y_{i,t+s}/\partial u_{jt}$ $\partial y_{i,t+s}/\partial v_{jt}$ 。这些乘数之间的关系显然是

\frac{\partial y_{t + s}}{\partial v_{j t}} = \frac{\partial y_{t + s}}{\partial u_{j t}} \sqrt{d_{j j}} = Ψ_{s} a_{j} \sqrt{d_{j j}} .

$\mathbf{a}_j \sqrt{d_{jj}}$ $\mathbf{A} \mathbf{D}^{1/2}$ $j$ $\mathbf{P}$ $j$ $\mathbf{P}$ $j$ $\mathbf{p}_j$ ，我们有

\begin{matrix} (11.4.22) & \frac{\partial y_{t + s}}{\partial v_{j t}} = Ψ_{s} p_{j} . \end{matrix}

$\sqrt{\operatorname{Var}(u_{jt})}$ $y_{jt}$ $y_{jt}$ $y_{jt}$ $\sqrt{\operatorname{Var}(u_{jt})}$ 个单位时的影响。

11.5 Variance Decomposition

$s$ 期预测误差识别为

\begin{matrix} (11.5.1) & y_{t + s} - {\hat{y}}_{t + s ∣ t} = ε_{t + s} + Ψ_{1} ε_{t + s - 1} + Ψ_{2} ε_{t + s - 2} + \dots + Ψ_{s - 1} ε_{t + 1} . \end{matrix}

$s$ 期预测的均方误差为

\begin{aligned} (11.5.2) & MSE ({\hat{y}}_{t + s ∣ t}) & = E [(y_{t + s} - {\hat{y}}_{t + s ∣ t}) (y_{t + s} - {\hat{y}}_{t + s ∣ t})^{'}] \\ = Ω + Ψ_{1} Ω Ψ_{1}^{'} + Ψ_{2} Ω Ψ_{2}^{'} + \dots + Ψ_{s - 1} Ω Ψ_{s - 1}^{'}, \end{aligned}

其中

\begin{matrix} (11.5.3) & Ω = E (ε_{t} ε_{t}^{'}) . \end{matrix}

$(u_{1t}, \ldots, u_{nt})$ 如何影响 MSE。将 [11.4.12] 写成

\begin{matrix} (11.5.4) & ε_{t} = A u_{t} = a_{1} u_{1 t} + a_{2} u_{2 t} + \dots + a_{n} u_{n t}, \end{matrix}

$\mathbf{a}_j$ $\mathbf{A}$ $j$ $u_{jt}$ 是不相关的，将方程 [11.5.4] 右乘其转置并取期望产生

\begin{aligned} (11.5.5) & Ω & = E (ε_{t} ε_{t}^{'}) \\ = a_{1} a_{1}^{'} \cdot Var (u_{1 t}) + a_{2} a_{2}^{'} \cdot Var (u_{2 t}) + \dots + a_{n} a_{n}^{'} \cdot Var (u_{n t}), \end{aligned}

$\operatorname{Var}(u_{jt})$ $\mathbf{D}$ $j$ $j$ $s$ $n$ $u_{jt}$ ：

\begin{aligned} (11.5.6) & MSE ({\hat{y}}_{t + s ∣ t}) & = \sum_{j = 1}^{n} {Var (u_{j t}) \cdot [a_{j} a_{j}^{'} + Ψ_{1} a_{j} a_{j}^{'} Ψ_{1}^{'} \\ + Ψ_{2} a_{j} a_{j}^{'} Ψ_{2}^{'} + \dots + Ψ_{s - 1} a_{j} a_{j}^{'} Ψ_{s - 1}^{'}]} . \end{aligned}

$j$ $s$ 期预测的 MSE 的贡献：

Var (u_{j t}) \cdot [a_{j} a_{j}^{'} + Ψ_{1} a_{j} a_{j}^{'} Ψ_{1}^{'} + Ψ_{2} a_{j} a_{j}^{'} Ψ_{2}^{'} + \dots + Ψ_{s - 1} a_{j} a_{j}^{'} Ψ_{s - 1}^{'}] .

同样，这个量通常取决于变量的排序。

$s \to \infty$ $\operatorname{MSE}(\widehat{\mathbf{y}}_{t+s \mid t}) \to \boldsymbol{\Gamma}_0$ $\mathbf{y}_t$ $s$ $y_i$ $u_j$ 引起的部分。

$\mathbf{a}_j \cdot \sqrt{\operatorname{Var}(u_{jt})}$ $\mathbf{p}_j$ $\mathbf{P}$ $j$ 列，结果 [11.5.6] 可以等价地写成

\begin{aligned} (11.5.7) & MSE ({\hat{y}}_{t + s ∣ t}) & = \sum_{j = 1}^{n} [p_{j} p_{j}^{'} + Ψ_{1} p_{j} p_{j}^{'} Ψ_{1}^{'} + Ψ_{2} p_{j} p_{j}^{'} Ψ_{2}^{'} \\ + \dots + Ψ_{s - 1} p_{j} p_{j}^{'} Ψ_{s - 1}^{'}] . \end{aligned}

11.6 Vector Autoregressions and Structural Econometric Models

Pitfalls in Estimating Dynamic Structural Models

$\mathbf{y}_t$ $n$ 个不同变量之间动态相互关系的统计描述。此描述没有使用关于这些变量预期如何相关的先验理论思想，因此不能用于检验我们的理论或根据经济原理解释数据。本节探讨 VAR 与结构计量经济学模型之间的关系。

假设我们想估计一个货币需求函数，该函数将公众持有现金的意愿表达为收入和利率水平的函数：

\begin{matrix} (11.6.1) & M_{t} - P_{t} = β_{0} + β_{1} Y_{t} + β_{2} I_{t} + β_{3} (M_{t - 1} - P_{t - 1}) + v_{t}^{D} . \end{matrix}

$M_t$ $t$ $P_t$ $Y_t$ $I_t$ $\beta_1$ $\beta_2$ $\beta_3$ $v_t^D$ 表示除收入和利率外影响货币需求的因素。

曾经常见的做法是用 Cochrane-Orcutt 调整估计此类货币需求方程以处理一阶序列相关。此程序背后的隐含假设是

\begin{matrix} (11.6.2) & v_{t}^{D} = ρ v_{t - 1}^{D} + u_{t}^{D}, \end{matrix}

$u_t^D$ $(1 - \rho L) v_t^D = u_t^D$ $(1 - \rho L)$ ：

\begin{aligned} (11.6.3) & M_{t} - P_{t} & = (1 - ρ) β_{0} + β_{1} Y_{t} - β_{1} ρ Y_{t - 1} + β_{2} I_{t} - β_{2} ρ I_{t - 1} \\ + (β_{3} + ρ) (M_{t - 1} - P_{t - 1}) - β_{3} ρ (M_{t - 2} - P_{t - 2}) + u_{t}^{D} . \end{aligned}

方程 [11.6.3] 是以下形式的受限版本：

\begin{aligned} (11.6.4) & M_{t} - P_{t} & = α_{0} + α_{1} Y_{t} + α_{2} Y_{t - 1} + α_{3} I_{t} + α_{4} I_{t - 1} \\ + α_{5} (M_{t - 1} - P_{t - 1}) + α_{6} (M_{t - 2} - P_{t - 2}) + u_{t}^{D}, \end{aligned}

$(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_6)$ $(\rho, \beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3)$ 的非线性函数。因此，可以通过比较 [11.6.3] 的拟合与 [11.6.4] 的无约束估计的拟合来检验 [11.6.2] 的假设。

诸如 [11.6.1] 和 [11.6.2] 的规范隐含地对动态施加了许多限制，这些限制在经济理论基础上几乎没有或没有理由。在依赖 [11.6.1] 和 [11.6.2] 的推断之前，似乎应该将该模型与更一般的规范（如

\begin{aligned} (11.6.5) & M_{t} & = k_{1} + β_{12}^{(0)} P_{t} + β_{13}^{(0)} Y_{t} + β_{14}^{(0)} I_{t} \\ + β_{11}^{(1)} M_{t - 1} + β_{12}^{(1)} P_{t - 1} + β_{13}^{(1)} Y_{t - 1} + β_{14}^{(1)} I_{t - 1} \\ + β_{11}^{(2)} M_{t - 2} + β_{12}^{(2)} P_{t - 2} + β_{13}^{(2)} Y_{t - 2} + β_{14}^{(2)} I_{t - 2} + \dots \\ + β_{11}^{(p)} M_{t - p} + β_{12}^{(p)} P_{t - p} + β_{13}^{(p)} Y_{t - p} + β_{14}^{(p)} I_{t - p} + u_{t}^{D} \end{aligned}

）进行检验。

$\beta_{13}^{(0)}$ $\beta_{14}^{(0)}$ $u_t^D$ $v_t^D$ 的动态行为、部分调整过程以及价格水平对期望货币持有的影响。

$I_t$ 调整到与其政策目标一致的水平，这可能取决于收入、利率、价格水平和货币供应的当前和滞后值：

\begin{aligned} (11.6.6) & I_{t} & = k_{4} + β_{41}^{(0)} M_{t} + β_{42}^{(0)} P_{t} + β_{43}^{(0)} Y_{t} \\ + β_{41}^{(1)} M_{t - 1} + β_{42}^{(1)} P_{t - 1} + β_{43}^{(1)} Y_{t - 1} + β_{44}^{(1)} I_{t - 1} \\ + β_{41}^{(2)} M_{t - 2} + β_{42}^{(2)} P_{t - 2} + β_{43}^{(2)} Y_{t - 2} + β_{44}^{(2)} I_{t - 2} + \dots \\ + β_{41}^{(p)} M_{t - p} + β_{42}^{(p)} P_{t - p} + β_{43}^{(p)} Y_{t - p} + β_{44}^{(p)} I_{t - p} + u_{t}^{C} . \end{aligned}

$\beta_{42}^{(0)}$ $u_t^C$ $u_t^D$ $M_t$ $\beta_{41}^{(0)} > 0$ $I_t$ $u_t^D$ $I_t$ 正相关。因此，[11.6.5] 不能通过 OLS 估计。

$I_t$ $Y_t$ $P_t$ 也是内生的。例如，可以假设一个总需求方程，将产出水平与货币供应、价格水平和利率相关：

\begin{aligned} (11.6.7) & Y_{t} & = k_{3} + β_{31}^{(0)} M_{t} + β_{32}^{(0)} P_{t} + β_{34}^{(0)} I_{t} \\ + β_{31}^{(1)} M_{t - 1} + β_{32}^{(1)} P_{t - 1} + β_{33}^{(1)} Y_{t - 1} + β_{34}^{(1)} I_{t - 1} \\ + β_{31}^{(2)} M_{t - 2} + β_{32}^{(2)} P_{t - 2} + β_{33}^{(2)} Y_{t - 2} + β_{34}^{(2)} I_{t - 2} + \dots \\ + β_{31}^{(p)} M_{t - p} + β_{32}^{(p)} P_{t - p} + β_{33}^{(p)} Y_{t - p} + β_{34}^{(p)} I_{t - p} + u_{t}^{A}, \end{aligned}

$u_t^A$ $t$ 的解释变量都应该被视为内生的。

Relation Between Dynamic Structural Models and Vector Autoregressions

方程组 [11.6.5] 到 [11.6.7] 可以写成向量形式为

\begin{matrix} (11.6.8) & B_{0} y_{t} = k + B_{1} y_{t - 1} + B_{2} y_{t - 2} + \dots + B_{p} y_{t - p} + u_{t}, \end{matrix}

其中

\begin{aligned} y_{t} & = (M_{t}, P_{t}, Y_{t}, I_{t})^{'} \\ u_{t} & = (u_{t}^{D}, u_{t}^{S}, u_{t}^{A}, u_{t}^{C})^{'} \\ B_{0} & = [\begin{array}{c} 1 & - β_{12}^{(0)} & - β_{13}^{(0)} & - β_{14}^{(0)} \\ - β_{21}^{(0)} & 1 & - β_{23}^{(0)} & - β_{24}^{(0)} \\ - β_{31}^{(0)} & - β_{32}^{(0)} & 1 & - β_{34}^{(0)} \\ - β_{41}^{(0)} & - β_{42}^{(0)} & - β_{43}^{(0)} & 1 \end{array}] \\ k & = (k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4})^{'} \end{aligned}

$\mathbf{B}_s$ $(4 \times 4)$ $i$ $j$ $\beta_{ij}^{(s)}$ $s = 1, 2, \ldots, p$ $(n \times 1)$ $\mathbf{y}_t$ 的一大类结构模型可以写成 [11.6.8] 的形式。

$p$ $\mathbf{B}_s$ $\mathbf{u}_t$ $\mathbf{u}_t$ $r$ 阶 VAR，其中

u_{t} = F_{1} u_{t - 1} + F_{2} u_{t - 2} + \dots + F_{r} u_{t - r} + e_{t},

$(\mathbf{I}_n - \mathbf{F}_1 L - \mathbf{F}_2 L^2 - \cdots - \mathbf{F}_r L^r)$ $p$ $(p + r)$ $\mathbf{u}_t$ $\mathbf{e}_t$ 。

$\mathbf{B}_0^{-1}$ ，结果是

\begin{matrix} (11.6.9) & y_{t} = c + Φ_{1} y_{t - 1} + Φ_{2} y_{t - 2} + \dots + Φ_{p} y_{t - p} + ε_{t}, \end{matrix}

其中

\begin{aligned} (11.6.10) & c & = B_{0}^{- 1} k \\ (11.6.11) & Φ_{s} & = B_{0}^{- 1} B_{s} for s = 1, 2, \dots, p \\ (11.6.12) & ε_{t} & = B_{0}^{- 1} u_{t} . \end{aligned}

$\mathbf{u}_t$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ 也将是向量白噪声，[11.6.9] 将被识别为动态结构系统 [11.6.8] 的向量自回归表示。因此，VAR 可以被视为一般动态结构模型的简化形式。

Interpreting Impulse-Response Functions

在第 11.4 节中，我们计算了脉冲响应函数

\begin{matrix} (11.6.13) & \frac{\partial y_{t + s}}{\partial ε_{j t}} . \end{matrix}

$j$ $\varepsilon_{jt}$ $\mathbf{u}_t$ 的线性组合。例如，可能结果是

ε_{1 t} = 0.3 u_{t}^{D} - 0.6 u_{t}^{S} + 0.1 u_{t}^{A} - 0.5 u_{t}^{C} .

$\varepsilon_{1t}$ $u_t^D$ $\varepsilon_{1t}$ $u_t^C$ $\varepsilon_{1t}$ 表示对经济中任何变量重要的所有不同影响的组合。

相比之下，如果我们能够计算

\begin{matrix} (11.6.14) & \frac{\partial y_{t + s}}{\partial u_{t}^{C}}, \end{matrix}

这将非常有意义。表达式 [11.6.14] 识别了如果中央银行比通常更紧缩信贷时对经济的动态后果，是描述货币政策对经济影响的关键量。

$\boldsymbol{\Omega} = E(\boldsymbol{\varepsilon}_t \boldsymbol{\varepsilon}_t')$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{D}$ $\boldsymbol{\Omega} = \mathbf{A} \mathbf{D} \mathbf{A}'$ $\mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\mathbf{y}$ 未来值的影响。

$\mathbf{u}_t$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ 相关：

\begin{matrix} (11.6.15) & u_{t} = B_{0} ε_{t} . \end{matrix}

$\mathbf{B}_0$ $\mathbf{A}^{-1}$ 。那么正交化新息将与真正的结构扰动一致：

\begin{matrix} (11.6.16) & u_{t} = B_{0} ε_{t} = A^{- 1} ε_{t} . \end{matrix}

在这种情况下，第 11.4 节中描述的方法可用于找到诸如 [11.6.14] 等重要问题的答案。

$\mathbf{B}_0$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}_0$ $P, Y$ $I$ $M$ $Y$ $I$ $I_t$ $\mathbf{y}_t = (P_t, Y_t, M_t, I_t)'$ ，对于此排序，结构模型将是

\begin{aligned} (11.6.17) & [\begin{array}{c} P_{t} \\ Y_{t} \\ M_{t} \\ I_{t} \end{array}] & = [\begin{array}{c} k_{1} \\ k_{2} \\ k_{3} \\ k_{4} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ β_{21}^{(0)} & 0 & 0 & 0 \\ β_{31}^{(0)} & β_{32}^{(0)} & 0 & 0 \\ β_{41}^{(0)} & β_{42}^{(0)} & β_{43}^{(0)} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} P_{t} \\ Y_{t} \\ M_{t} \\ I_{t} \end{array}] + [\begin{array}{c} β_{11}^{(1)} & β_{12}^{(1)} & β_{13}^{(1)} & β_{14}^{(1)} \\ β_{21}^{(1)} & β_{22}^{(1)} & β_{23}^{(1)} & β_{24}^{(1)} \\ β_{31}^{(1)} & β_{32}^{(1)} & β_{33}^{(1)} & β_{34}^{(1)} \\ β_{41}^{(1)} & β_{42}^{(1)} & β_{43}^{(1)} & β_{44}^{(1)} \end{array}] [\begin{array}{c} P_{t - 1} \\ Y_{t - 1} \\ M_{t - 1} \\ I_{t - 1} \end{array}] + \dots \\ + [\begin{array}{c} β_{11}^{(p)} & β_{12}^{(p)} & β_{13}^{(p)} & β_{14}^{(p)} \\ β_{21}^{(p)} & β_{22}^{(p)} & β_{23}^{(p)} & β_{24}^{(p)} \\ β_{31}^{(p)} & β_{32}^{(p)} & β_{33}^{(p)} & β_{34}^{(p)} \\ β_{41}^{(p)} & β_{42}^{(p)} & β_{43}^{(p)} & β_{44}^{(p)} \end{array}] [\begin{array}{c} P_{t - p} \\ Y_{t - p} \\ M_{t - p} \\ I_{t - p} \end{array}] + [\begin{array}{c} u_{t}^{S} \\ u_{t}^{A} \\ u_{t}^{D} \\ u_{t}^{C} \end{array}] . \end{aligned}

$\mathbf{B}_0$ 是下三角的。将动态结构模型 [11.6.8] 写成

\begin{matrix} (11.6.18) & B_{0} y_{t} = - Γ x_{t} + u_{t}, \end{matrix}

其中

\begin{aligned} Γ & \equiv [\begin{array}{c} k & B_{1} & B_{2} & \dots & B_{p} \end{array}] \\ x_{t} & \equiv [\begin{array}{c} 1 \\ y_{t - 1} \\ y_{t - 2} \\ ⋮ \\ y_{t - p} \end{array}] . \end{aligned}

进一步假设结构方程中的扰动是序列不相关的且彼此不相关：

\begin{matrix} (11.6.19) & \begin{matrix} E (u_{t} u_{τ}^{'}) = {\begin{cases} D & for t = τ \\ 0 & otherwise \end{cases}, \end{matrix} \end{matrix}

$\mathbf{D}$ 是对角矩阵。VAR 是动态结构模型 [11.6.18] 的简化形式，可以写成

\begin{matrix} (11.6.20) & y_{t} = Π^{'} x_{t} + ε_{t}, \end{matrix}

其中

\begin{aligned} (11.6.21) & Π^{'} & = - B_{0}^{- 1} Γ \\ (11.6.22) & ε_{t} & = B_{0}^{- 1} u_{t} . \end{aligned}

$\boldsymbol{\Omega}$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ 的方差-协方差矩阵，[11.6.22] 意味着

\begin{matrix} (11.6.23) & Ω = E (ε_{t} ε_{t}^{'}) = B_{0}^{- 1} E (u_{t} u_{t}^{'}) (B_{0}^{- 1})^{'} = B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'} . \end{matrix}

$\mathbf{B}_0$ $\mathbf{D}$ $\mathbf{B}_0^{-1}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{D}$ $\boldsymbol{\Omega} = \mathbf{A} \mathbf{D} \mathbf{A}'$ $\mathbf{B}_0^{-1}$ $\mathbf{D}$ $\mathbf{B}_0$ $\boldsymbol{\Gamma}$ $\mathbf{B}_0$ $\boldsymbol{\Pi}$ $\boldsymbol{\Gamma} = -\mathbf{B}_0 \boldsymbol{\Pi}'$ $\boldsymbol{\Pi}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\mathbf{B}_0$ $\boldsymbol{\Gamma}$ $\mathbf{D}$ ），这确立了结构模型恰好被识别。

$(\mathbf{B}_0, \boldsymbol{\Gamma}, \mathbf{D})$ $(\boldsymbol{\Pi}, \boldsymbol{\Omega})$ $\boldsymbol{\Pi}$ $\mathbf{y}_t$ $\mathbf{x}_t$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$ $\widehat{\mathbf{B}}_0^{-1}$ $\widehat{\mathbf{D}}$ $\widehat{\mathbf{A}}$ $\mathbf{B}_0^{-1}$ $\mathbf{u}_t = \mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\mathbf{u}_t$ 表示的结构事件的动态后果，前提是结构模型如 [11.6.17] 中那样是下三角的。

Nonrecursive Structural VARs

$\mathbf{B}_0$ $\mathbf{D}$ $\mathbf{B}_0^{-1} \mathbf{D} (\mathbf{B}_0^{-1})' = \boldsymbol{\Omega}$ 。

$(q_t)$ $(p_t)$ $(w_t)$ $p$ 个滞后，以及添加第三个方程来描述天气的动态行为，允许相当一般的动态。天气可能不依赖于市场行为，因此对于此示例，第三个方程将只是单变量自回归。模型将是

\begin{aligned} (11.6.24) & q_{t} & = β p_{t} + β_{11}^{(1)} q_{t - 1} + β_{12}^{(1)} p_{t - 1} + β_{13}^{(1)} w_{t - 1} \\ + β_{11}^{(2)} q_{t - 2} + β_{12}^{(2)} p_{t - 2} + β_{13}^{(2)} w_{t - 2} + \dots \\ + β_{11}^{(p)} q_{t - p} + β_{12}^{(p)} p_{t - p} + β_{13}^{(p)} w_{t - p} + u_{t}^{d} \\ (11.6.25) & q_{t} & = γ p_{t} + h w_{t} + β_{21}^{(1)} q_{t - 1} + β_{22}^{(1)} p_{t - 1} + β_{23}^{(1)} w_{t - 1} \\ + β_{21}^{(2)} q_{t - 2} + β_{22}^{(2)} p_{t - 2} + β_{23}^{(2)} w_{t - 2} + \dots \\ + β_{21}^{(p)} q_{t - p} + β_{22}^{(p)} p_{t - p} + β_{23}^{(p)} w_{t - p} + u_{t}^{s} \\ (11.6.26) & w_{t} & = β_{33}^{(1)} w_{t - 1} + β_{33}^{(2)} w_{t - 2} + \dots + β_{33}^{(p)} w_{t - p} + u_{t}^{w} . \end{aligned}

$(u_t^d, u_t^s, u_t^w)'$ $\mathbf{D}$ 给出。这是结构模型 [11.6.18] 的一个示例，其中

\begin{matrix} (11.6.27) & \begin{matrix} B_{0} = [\begin{matrix} 1 & - β & 0 \\ 1 & - γ & - h \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] . \end{matrix} \end{matrix}

$\mathbf{B}_0$ $\mathbf{u}_t$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t = \mathbf{B}_0^{-1} \mathbf{u}_t$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\mathbf{B}_0$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}_0^{-1}$ ，结果将给出每个结构扰动对系统变量后续值的影响。具体来说，

\frac{\partial ε_{t}}{\partial u_{t}^{'}} = B_{0}^{- 1}

$j$ $u_{jt}$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\mathbf{b}^j$ $\mathbf{B}_0^{-1}$ $j$ 列。因此，我们将计算

\frac{\partial y_{t + s}}{\partial u_{j t}} = \frac{\partial y_{t + s}}{\partial ε_{t}^{'}} \frac{\partial ε_{t}}{\partial u_{j t}} = Ψ_{s} b^{j}

$\boldsymbol{\Psi}_s$ $MA(\infty)$ $s$ $(n \times n)$ 系数矩阵。

FIML Estimation of a Structural VAR with Unrestricted Dynamics

$\boldsymbol{\Gamma}$ $p_{t-j}$ $q_{t-j}$ 的滞后值。使用 [11.6.23]，系统 [11.6.18] 的对数似然函数可以写成

\begin{aligned} (11.6.28) & L (B_{0}, D, Π) & = - (T n / 2) \log (2 π) - (T / 2) \log | B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'} | \\ - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} [y_{t} - Π^{'} x_{t}]^{'} [B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'}]^{- 1} [y_{t} - Π^{'} x_{t}] . \end{aligned}

$\mathbf{y}_t$ $\mathbf{x}_t$ $\boldsymbol{\Pi}$ 。如 [11.1.25] 中那样将此估计代入 [11.6.28] 产生

\begin{aligned} (11.6.29) & L (B_{0}, D, \hat{Π}) & = - (T n / 2) \log (2 π) - (T / 2) \log | B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'} | \\ - (1 / 2) \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} [B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'}]^{- 1} {\hat{ε}}_{t} . \end{aligned}

但

\begin{aligned} (11.6.30) & \sum_{t = 1}^{T} {\hat{ε}}_{t}^{'} [B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'}]^{- 1} {\hat{ε}}_{t} & = \sum_{t = 1}^{T} trace {{\hat{ε}}_{t}^{'} [B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'}]^{- 1} {\hat{ε}}_{t}} \\ = \sum_{t = 1}^{T} trace {[(B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'}]^{- 1} {\hat{ε}}_{t} {\hat{ε}}_{t}^{'}} \\ = trace {[(B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'}]^{- 1} T \cdot \hat{Ω}} \\ = T \times trace {(B_{0}^{'} D^{- 1} B_{0}) \hat{Ω}} . \end{aligned}

此外，

\begin{matrix} (11.6.31) & \log | B_{0}^{- 1} D (B_{0}^{- 1})^{'} | = \log {| B_{0}^{- 1} | \cdot | D | \cdot | B_{0}^{- 1} |} = - \log | B_{0} |^{2} + \log | D | . \end{matrix}

$\mathbf{B}_0$ $\mathbf{D}$ 以最大化

\begin{aligned} (11.6.32) & L (B_{0}, D, \hat{Π}) & = - (T n / 2) \log (2 π) + (T / 2) \log | B_{0} |^{2} - (T / 2) \log | D | \\ - (T / 2) trace {(B_{0}^{'} D^{- 1} B_{0}) \hat{Ω}} . \end{aligned}

$\mathbf{B}_0^{-1} \mathbf{D} (\mathbf{B}_0^{-1})' = \boldsymbol{\Omega}$ $\mathbf{B}_0$ $\mathbf{D}$ ，那么最大化 [11.6.32] 将产生满足

\begin{matrix} (11.6.33) & {\hat{B}}_{0}^{- 1} \hat{D} ({\hat{B}}_{0}^{- 1})^{'} = \hat{Ω} \end{matrix}

$\widehat{\mathbf{B}}_0$ $\widehat{\mathbf{D}}$ 。这是一个非线性方程组，[11.6.32] 的数值最大化提供了找到此方程组解的方便的一般方法。

Identification of Structural VARs

$\mathbf{B}_0$ $\mathbf{D}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $\boldsymbol{\Omega}$ $n(n+1)/2$ $\mathbf{D}$ $n$ $\mathbf{B}_0$ $n(n-1)/2$ $n = 3$ $\mathbf{B}_0$ $3(3-1)/2 = 3$ $(\beta, \gamma, h)$ 。因此，该示例满足识别的阶条件。

即使满足阶条件，模型可能仍然未被识别。例如，假设

\begin{matrix} B_{0} = [\begin{matrix} 1 & - β & 0 \\ 1 & - γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] . \end{matrix}

$\beta$ $\gamma$ $\sigma_d^2$ $\sigma_s^2$ 一起交换，似然函数的值将不变。

$\mathbf{B}_0$ $n_B$ $(n_B \times 1)$ $\boldsymbol{\theta}_B$ $(n^2 \times n_B)$ $\mathbf{S}_B$ $(n^2 \times 1)$ $\mathbf{s}_B$ ，对于它们

\begin{matrix} (11.6.34) & vec (B_{0}) = S_{B} θ_{B} + s_{B} . \end{matrix}

$\mathbf{D}$ $(n_D \times 1)$ $\boldsymbol{\theta}_D$ 中，其中

\begin{matrix} (11.6.35) & vec (D) = S_{D} θ_{D} + s_{D} \end{matrix}

$(n^2 \times n_D)$ $\mathbf{S}_D$ $(n^2 \times 1)$ $\mathbf{s}_D$ 。

$n^* \equiv n(n+1)/2$ 个独立条件，表示为

\begin{matrix} (11.6.36) & vech (Ω) = vech ([B_{0} (θ_{B})]^{- 1} [D (θ_{D})] {[B_{0} (θ_{B})]^{- 1}}^{'}) . \end{matrix}

$\mathbf{f}(\boldsymbol{\theta}_B, \boldsymbol{\theta}_D)$ $\mathbf{f} : (\mathbb{R}^{n_B} \times \mathbb{R}^{n_D}) \to \mathbb{R}^{n^*}$ ：

\begin{matrix} (11.6.37) & vech (Ω) = f (θ_{B}, θ_{D}) . \end{matrix}

$[n^* \times (n_B + n_D)]$ 导数矩阵由下式给出：

\begin{aligned} (11.6.38) & J & = [\begin{array}{c} \frac{\partial vech (Ω)}{\partial θ_{B}^{'}} & \frac{\partial vech (Ω)}{\partial θ_{D}^{'}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} [- 2 D_{n}^{+} (Ω \otimes B_{0}^{- 1}) S_{B}] & D_{n}^{+} [(B_{0}^{- 1}) \otimes (B_{0}^{- 1})] S_{D} \end{array}], \end{aligned}

$\mathbf{D}_n^+$ $(n^* \times n^2)$ 矩阵。

$[(n_B + n_D) \times 1]$ $\boldsymbol{\lambda}$ $\mathbf{J} \boldsymbol{\lambda} = \mathbf{0}$ $\boldsymbol{\lambda}$ $(\boldsymbol{\theta}_B', \boldsymbol{\theta}_D')'$ $(\boldsymbol{\theta}_B', \boldsymbol{\theta}_D')$ 的这些替代值，这意味着模型将未被识别。

$\mathbf{J}$ $(n_B + n_D)$ $\mathbf{J}$ $n^* = n(n+1)/2$ ）至少与列数一样大。

$\boldsymbol{\Pi}$

$p$ $q$ $\boldsymbol{\Pi}$ $\boldsymbol{\Pi}$ $\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$ $\mathbf{B}_0$ $\mathbf{D}$ 的合理估计。

11.7 Standard Errors for Impulse-Response Functions

Standard Errors for Nonorthogonalized Impulse-Response Function Based on Analytical Derivatives

$\boldsymbol{\Psi}_s$ $s$ $\boldsymbol{\Psi}_s$ $\widehat{\boldsymbol{\Psi}}_s$ 的隐含标准误是有用的。

$k = np + 1$ $\boldsymbol{\pi} \equiv \operatorname{vec}(\boldsymbol{\Pi})$ $(nk \times 1)$ $\boldsymbol{\pi}$ $k$ $\boldsymbol{\pi}$ $k$ $\boldsymbol{\psi}_s \equiv \operatorname{vec}(\boldsymbol{\Psi}_s')$ $s$ $(n^2 \times 1)$ $\boldsymbol{\psi}_s$ $n$ $\boldsymbol{\Psi}_s$ $y_{1,t+s}$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\boldsymbol{\psi}_s$ $n$ $\boldsymbol{\Psi}_s$ $y_{2,t+s}$ $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ $\boldsymbol{\pi}$ $\boldsymbol{\psi}_s$ $\boldsymbol{\psi}_s$ $\boldsymbol{\pi}$ $\boldsymbol{\psi}_s(\boldsymbol{\pi})$ $\boldsymbol{\psi}_s : \mathbb{R}^{nk} \to \mathbb{R}^{n^2}$ 。

$\widehat{\boldsymbol{\pi}}_T$ $\boldsymbol{\pi}$ $\widehat{\boldsymbol{\psi}}_{s,T} = \boldsymbol{\psi}_s(\widehat{\boldsymbol{\pi}}_T)$ $\sqrt{T}(\widehat{\boldsymbol{\pi}}_T - \boldsymbol{\pi}) \overset{L}{\to} \mathbf{X}$ ，其中

\begin{matrix} (11.7.1) & X \sim N (0, (Ω \otimes Q^{- 1})) . \end{matrix}

$\widehat{\boldsymbol{\psi}}_s$ 的标准误：

\sqrt{T} ({\hat{ψ}}_{s, T} - ψ_{s}) \overset{L}{\to} G_{s} X,

其中

\begin{matrix} (11.7.2) & G_{s} = \frac{\partial ψ_{s} (π)}{\partial π^{'}} . \end{matrix}

也就是说，

\begin{matrix} (11.7.3) & \sqrt{T} ({\hat{ψ}}_{s, T} - ψ_{s}) \overset{L}{\to} N (0, G_{s} (Ω \otimes Q^{- 1}) G_{s}^{'}) . \end{matrix}

$(1/T) \widehat{\mathbf{G}}_{s,T} (\widehat{\boldsymbol{\Omega}}_T \otimes \widehat{\mathbf{Q}}_T^{-1}) \widehat{\mathbf{G}}_{s,T}'$ 的相应对角元素的平方根给出，其中

\begin{aligned} {\hat{G}}_{s, T} & = {\frac{\partial ψ_{s} (π)}{\partial π^{'}} |}_{π = {\hat{π}}_{T}} \\ {\hat{Q}}_{T} & = (1 / T) \sum_{t = 1}^{T} x_{t} x_{t}^{'} . \end{aligned}

$\mathbf{G}_s$ $\boldsymbol{\Psi}_s$ 满足递归关系：

Ψ_{s} = Φ_{1} Ψ_{s - 1} + Φ_{2} Ψ_{s - 2} + \dots + Φ_{p} Ψ_{s - p} for s = 1, 2, \dots,

$\boldsymbol{\Psi}_0 = \mathbf{I}_n$ $s < 0$ $\boldsymbol{\Psi}_s = \mathbf{0}$ $\boldsymbol{\pi}$ 求导：

\frac{\partial Ψ_{s}}{\partial π^{'}} = Φ_{1} \frac{\partial Ψ_{s - 1}}{\partial π^{'}} + Φ_{2} \frac{\partial Ψ_{s - 2}}{\partial π^{'}} + \dots + Φ_{p} \frac{\partial Ψ_{s - p}}{\partial π^{'}} + \sum_{j = 1}^{p} \frac{\partial Φ_{j}}{\partial π^{'}} Ψ_{s - j} .

$\boldsymbol{\Phi}_j = \mathbf{B}_0^{-1} \mathbf{B}_j$ $\boldsymbol{\Pi}' = [\mathbf{c} \quad \boldsymbol{\Phi}_1 \quad \boldsymbol{\Phi}_2 \quad \cdots \quad \boldsymbol{\Phi}_p]$ $\partial \boldsymbol{\Phi}_j / \partial \boldsymbol{\pi}'$ $\partial \boldsymbol{\Pi}' / \partial \boldsymbol{\pi}'$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{D}$ $\boldsymbol{\pi}$ $\boldsymbol{\Omega}$ 的依赖性发生。标准误的计算因此变得更加复杂，但可以使用数值方法或解析导数进行。

Chapter 11 —— Vector Autoregressions

11.1 Maximum Likelihood Estimation and Hypothesis Testing for an Unrestricted Vector Autoregression

The Conditional Likelihood Function for a Vector Autoregression

Maximum Likelihood Estimate of Π\boldsymbol{\Pi}

Some Useful Results on Matrix Derivatives

The Maximum Likelihood Estimate of Ω\boldsymbol{\Omega}

Likelihood Ratio Tests

Asymptotic Distribution of Π^\widehat{\boldsymbol{\Pi}}

Asymptotic Distribution of Ω^\widehat{\boldsymbol{\Omega}}

11.2 Bivariate Granger Causality Tests

Definition of Bivariate Granger Causality

Alternative Implications of Granger Causality

Econometric Tests for Granger Causality

Interpreting Granger-Causality Tests

11.3 Maximum Likelihood Estimation of Restricted Vector Autoregressions

Granger Causality in a Multivariate Context

An Alternative Expression for the Likelihood Function

Maximum Likelihood Estimation of a VAR Characterized by Block Exogeneity

Geweke's Measure of Linear Dependence

Maximum Likelihood Estimation Under General Coefficient Constraints

11.4 The Impulse-Response Function

11.5 Variance Decomposition

11.6 Vector Autoregressions and Structural Econometric Models

Pitfalls in Estimating Dynamic Structural Models

Relation Between Dynamic Structural Models and Vector Autoregressions

Interpreting Impulse-Response Functions

Nonrecursive Structural VARs

FIML Estimation of a Structural VAR with Unrestricted Dynamics

Identification of Structural VARs

Structural VAR with Restrictions on Π\boldsymbol{\Pi}

11.7 Standard Errors for Impulse-Response Functions

Standard Errors for Nonorthogonalized Impulse-Response Function Based on Analytical Derivatives

$\boldsymbol{\Pi}$

$\boldsymbol{\Omega}$

$\widehat{\boldsymbol{\Pi}}$

$\widehat{\boldsymbol{\Omega}}$

$\boldsymbol{\Pi}$